桥技精华丛书 T·Reese & R·Trézel 著周家骝 译 返回目录 桥牌中的安全打法 桥牌中的消去打法 桥墩让掉与赢进的时机 桥牌防守艺术 桥牌中的封锁及解封打法 桥牌中的以假乱真打法 桥牌中的额外机会 掌握桥牌中的概率比 掌握桥牌中的概率比众所周知，数学家和著书人并不一定能成为一个优秀的桥牌手，而一个优秀的桥牌手却必须具有著书人和数学家的某些技能。桥牌手必须知道桥牌中的概率比，以及如何应用这些概率比。本书与这套从书中的其余各书略有不同，在本书的开始部分有一定篇幅的理论探讨内容。我们考虑这部分内容对于从未接触过任何形式的概率比的牌手说来，可能会产生困难。但是我们认为，先读一读这部分理论内容，然后学习示例，再回过头来看看理论问题，就可以对内容实质获得更为清楚的印象。概率比的重要性桥牌并不是一种数学游戏，但是桥牌中出现的各种机会都要用到数学。举一个最简单的例子，AQ飞牌成功的机会为50%。对于一个花色的各种可能分配，以及对于通过一轮、两轮或三轮硬打下来某一大牌的可能性，也可以作出这种类似的计算。本书的第一部分主要涉及理论内容，因为假如你不知道和不懂得概率比，则你对于很多牌就不可能作出一个明智的做庄计划。下面先用一个实际的情况为例。 J 9 7 8 4 7 2 A K 9 7 4 3西首攻 3 K 8 2 A K Q J A J T 6 6 5在两家不叫之后南开叫1。北应叫2，南跳再叫3NT，成为最后定约。西首攻3，东用A得进，并回出一。西用Q赢得，并再出而做好这个花色；已经看到是4-3分配。现在南立即看到了8个赢墩。并且由于外面只剩下一张，所以他允许丢失1墩或者1墩。问题在于究竟他应该送掉1墩呢，还是应该计划进行的联合飞（conbination finisse）？为了对上述问题作出准确的回答，你需要知道：要能够迅速回答这类问题，你需要知道：1. 作3-2分配的机会是多少？2. 通过先用10飞，再用J飞的办法，在中多做出一个赢墩的机会是多少？除与这两个机会有关的数学希望之外，还有一个因素也必须加以考虑。这就是西用4张作出的首攻。这个事实使得的平均分配的可能性略为增大。现在你的直觉和经验可以告诉你，做是较好的机会。由于这个问题需要涉及概率比，这里暂不多讲，关于具体的概率比以后都要讲到。目前先让上述问题略为复杂一点，即南的不是AJ10X，而是改为AQ9X，情况又将如何。7 2A Q 9 4假如你允许丢失1墩，则正确的打法是先由暗手用9飞。如有需要以后再用Q飞，这个打法可以获得东持J10X这一额外机会。如果南暗手持有这样的，他应该在中还是在中做出所需要的另外一个赢墩？要能够迅速回答这类问题，你需要知道：1. 牌型分配概率；2. 硬打出特定牌张的概率；3. 连续飞牌的成功机会。后面我们将分别讨论上述三个题目的理论内容，然后看看读者能不能把这些理论在各种不同牌例的做庄打牌上加以应用。牌型分配概率假设你是庄家，并假设你联手中共有7张。这样便可能对剩余的6张在两个防守人的分配情况作出估计。（注意，你自己联手中的7张牌，无论是6-1或4-3分配，对于其余6张牌的分配概率均无影响。）这一类的计算要受到很多因素的影响，例如叫牌情况、打牌情况、以及某些不确定的因素如一个防守人的打牌习惯等。但是原始希望（initial expectancies）（注：即先期概率或原始概率）仍然是制定任何一个打牌计划的起点。对方两人持有的牌张数目分 配概率8 张5—3 47%4—4 33%6—2 17% 7 张4—3 62%5—2 31%6—17% 6 张4—2 48%3—3 36%5—1 15% 5 张3—2 68%4—1 28%5—04% 4 张3—1 50%2—2 40%4—1 10% 3 张2—1 78%3—0 22% 2 张1—1 52%2—0 48% 实用结论在读完本书时，你对于大多数的这类概率将会熟悉。现在可以先提出几个容易记忆的一般原则。当对方持有的牌张数目为偶数（8、6或4）时，可能性最大的分配是偏离均等分配最近的那一种分配（5—3，4—2，3—1）。但对方只有2张牌的情况例外，这时1—1分配（均等分配）的可能性比2—0分配的可能性略大一点。当对方所持牌张的数目为奇数（7、5或3）时，最接近均等的各种分配（4—3，3—2，2—1）的可能性，比其他各种不均等分配可能性要大得多。特别是4—3分配的可能性为5—2分配可能性的2倍，3—2分配的可能性比4-1分配可能性的2倍还大。概率在打牌过程中的变化现在必须强调指出，上述概率都是原始概率，亦即在打牌开始之前所存在的概率。一般讲，打牌过程越往前进行，均等分配的可能性也变得越大。（可举出一个极端的例子，在打完第10墩牌时，如果一个花色在对方手中还有6张牌，则这6张牌必然是3—3分配。）同样，如果你连打某一个花色，对方两人都有牌跟出时，则这个花色在对方两人手中作均等分配的可能性变大。例如你联手的一个花色为AKQXX对XX；假如对方两人在你连打A和K时均有牌跟出，则5—1和6—0分配的可能性已经消除，因而4—2和3—3分配的相对机会均增大，分别约为57%和43%。对方跟出的牌张的情况，以及对方有可能会打假牌或者已经打了假牌等因素，对上述概率均能产生影响。关于一个普遍性的误解有一些喜欢自作聪明的牌手，常常怀疑上面所给出的概率数字。例如，他们争论说外面2张牌的2—0分配可能性与1—1分配可能性完全相等，他们所提出的理由是，当一张牌从一个防守人手中跟出时，则另一张牌在同一个防守人手中的可能性，与在另一个防守人手中的可能性相等。这样的争论理由，可以应用到硬币正反面的猜测上，至于桥牌的一副牌例则情况有所不同，原因在于两个防守人都必须各有13张牌。因此当两张牌中的一张牌发给一个防守人时，第二个防守人相对于前一个防守人说来，他就有13张未知的牌，而前一个防守人只有12张未知的牌。从这里计算得出的概率为52:48，有利于1—1分配。按照同样方法，有人也许会认为4—4分配应当是比5—3分配可能性更大的分配。假若从已经知道两个防守人各有3张牌的时刻开始进行计算，这一看法是正确的。但是最初发出的4张牌在对方两人手中的分配有可能是3-1。从这个时刻算起，持有3张牌的这个防守人最后能够拿到较长牌张（5张牌）的可能性较大。硬打出特定牌张的概率当你联手持有一个常见的花色组合时，例如AXX对KJXXX，你可能需要知道能够得到5墩牌或有时候能够得到4墩牌的机会是多少。下面我们将对这类问题的一些最为常见的情况逐一加以讨论。在每种情况下，都以前面的表示分配概率的数字表作为指导。我们根据这些数字作了实用的安排。对方有2张牌在前面已经看到，1—1分配比2—0分配可能性略大。因此在没有特别的信息时，如果对方共有KX两张牌，你应该倾向于采用硬打的办法。对方有3张牌首先看看你缺K的情况。假设你联手持有：A Q 10 X X XJ 9 X X你会记得有关的概率为：2—1分配78%，3—0分配22%。你认为从你右手防守人手中硬打出来单张K的机会的大小如何？计算极为简单。K是可能作单张的3张牌中的1张，因此在一个或另一个防守人手中K为单张的机会共为78%的1/3，亦即26%；所以东持单张K这一特定情况的机会为13%。有时候你会看到有些牌手从暗手出J，当西跟出小牌时，他就由明手打A。他们所持的论点（“现在外面一共只有两张牌，所以东持有单张K与持有单张小牌的机会是相同的”）有一个缺陷，然而目前对此没有必要多加讨论。此刻从东手中硬打出单张K的机会，比原始的13%略高，因为某些分配情况业已消除；然而仍旧比正常飞牌的成功机会低得多。现在再假设你缺Q：A K J X X X10 9 X X假定你可以先打A，并在需要时回入暗手出牌飞，则只当东持有QXX时才会丢失1墩牌。也就是说你丢失1墩牌的机会为3—0分配的原始概率22%的1/2，亦即11%。这个数字并不具有多大的实际重要性，但是上述的计算方法能够向你说明这类概率比是怎样得出的。对方有4张牌这时各种分配的概率为3—1分配50%，2—2分配40%，4—0分配10%。假如你缺少J109X四张牌，则你丢失1墩牌的机会为10%；而如果J在一个防守人手中你能把它捉死，而在另一个防守人手中你就不能把它捉死时，你丢失1墩牌的机会仅为5%。通常关键的一张牌是Q。首先假设你从两个方向都可以飞牌，并且联手还持有10和9。K J 10 X XA 9 X X如果对方两人中有一人这个花色是短套，则一般会有某些线索能够有助于判断出谁持短套。先不管这类线索，假设你先打出A，接着由暗手出一小牌，如果这时西又跟出一小牌。这时概率比略为有利于硬打。诚然原始概率为3—1分配50%，2—2分配40%，但这时有一些分配情况已经消除，所以概率比业已发生变化。持这种组合时你能得到5墩牌的机会为：所有的2—2分配，40%；任何一个防守人持单张Q，12.5%；东缺门，5%；总计的理论值为57.5%。但是当你没有10、9时，前景就要略差一些：A J X XK X X X X采用硬打的办法时，当这个花色是2—2分配，或者任何一防守人持单张Q，你能够得到5墩牌。亦即得到5墩牌的机会为52.5%；因此如果一个小满贯定约要依靠这种花色组合得到5墩牌时，这个小满贯定约是合格的。现在假设你有10，但是没有J（同时缺Q）：A 10 X XK X X X X采用硬打办法，这个花色为2—2分配时，可获成功（亦即得到5墩牌），机会为40%。然而获得5墩牌的机会，可以比40%为大。因为如果在第一轮时由东手中掉出Q或J，并在第二轮时你决定明手用10飞（这是应当采取的常规打法），则当东持QJ双张（约6.5%）时你丢失1墩牌，但当东持单张Q或J（约12.5%）时你可1墩不失。因此持这种花色组合时，你得到5墩牌的机会总计约为46%。对方有5张牌这时的分配概率为：3—2分配60%，4—1分配28%。先假设你缺J，并且一个防守人持JXXX四张时你肯定能将J捉死：A Q XK 10 X X X只有在5—0分配（4%）及西持JXXX四张（约11%）时，你才不能够得到5墩牌。通常关键牌是Q。下面是一种常见的情况：K J X X XA 10 X如果没有8和9等中间张，你能够得到5墩牌的机会：西持QX（13.5%）或西持QXX（20.5%），以及任何防守人持单张Q（5.5%）。（当然你也可以飞东有Q，其成功机会相同。）假如你没有10，你就会失掉一个防守人持单张Q的机会：K J X X XA X X现在你只有在西持QX或QXX时，才能得到5墩牌（约34%）。你能够得到4墩牌的机会为85%，只有在5—0分配或东持Q10XX（或类似的）四张时才会失败。下面一种组合情况常常会给庄家造成困难：K 10 9 X XA X X你能得到5墩牌的机会为：西持QJ双张（3—2分配的二十分之一，约3.5%），或东持QJ双张并且你用硬打办法；或东持单张大牌（4—1分配的五分之一，约5.5%）并且在第二轮时你明手用10飞。由于单张大牌比双张QJ的可能性为大，比率为5对8，因此如果在第一轮你打A时，从东手中掉出一张大牌，第二轮时你就应当由明手用10飞。对方有6张牌这时的分配概率为：4—2分配48%，3—3分配36%，5—1分配15%。下面是常见的一种组合：A Q 10 XK X X你先打小牌给明手的A，回出小牌给暗手的K，再由暗手出小牌，这时西仍跟一小牌。J还未出来。由于原始概率4—2分配比3—3分配为大，所以在这个时刻很多牌手仍然认为飞是正确的打法。但是他们忽视了一点，就是打牌进程已经把东持双张JX这种4—2分配消除。所以这时有关概率已有所变化，使得硬打比飞的成功机会为大。关于此点你可以通过先期（原始）概率得到证实。东持JXX三张的原始机会为18%（3—3分配概率36%的1/2）。东持双张的机会为24%，但是还必须从中减掉JX双张的机会（24%的1/3），亦即东持不带J的双张机会为16%。因此第三轮时你若用飞牌打法，从理论上说能够获得成功的概率比为16%对18%（注：即不利于飞牌，而有利于硬打）。此外，前面我们已经讲过，打牌愈是往前进行，均等分配的可能性愈是变大。在缺少6张牌时，你通常关心的一张牌是Q：K J X X XA X只当西持QXX三张时，你才能够得到5墩牌，亦即只有18%的机会。常常只需要得到4墩牌。假设你准备在第二轮时由明手用J飞，这样你能够得到4墩牌的机会为：所有的3—3分配（36%），以及西持QXXX四张（16%）和QX双张（18%），总计60%。对方有7张牌这时4—3分配的可能性为5—2分配可能的2倍（62%对31%）。你持：XA K J X X第一轮时用J飞，则你能够得到4墩牌的机会是4—3分配的概率的1/2，即31%。XA K Q 10 X第一轮时用10飞，则你能够得到5墩牌的机会同样是31%。连续飞牌的成功机会如果只需要飞一张大牌，则成功机会显然为50%。本章讨论需要飞2张或更多张大牌时的成功机会。双飞“双飞”一词系指需要2张大牌都正好处于有利位置，例如KJ在AQ10之前，或AQ在KJX之前。你联手持：A Q 10X X X要能得到3墩牌，必须K和J都在西的手中。好打赌的人都知道，不利于两个各为50%的机会同时出现的概率比为3:1（注：即不同时出现的机会为3，同时出现的机会为1）。但是在桥牌的一副牌例中，此概率比略有不同，因为如果西有这两张大牌中的一张大牌，则相对说来东就有13张未知牌，而西只有12张未知牌，所以东持有另一张大牌大牌的概率就是13:12，因而西同时持有这两张大牌的机会不超过24%（而不是25%）。值得注意一点，不利于任何两张大牌作某一特定形式分配的概率比，都非常接近于3:1。现在假设你缺A和A。它们的分配有4种可能性：两个A都在西手中；两个A都在东手中；东和西各有一个A，这又有两种情况。我们在前面已经看到，这两个A作1—1分配的可能性略占一点优势。联合飞所谓联合飞（conbination finisse），是指在两张大牌中只需要一张大牌处于有利的位置。这个领域中的成功机会是不容易清楚看出的。你联手持：A J 10X X X除东同时持有KQ的情况以外，你都能够得到2墩牌。这就是说有利于你得到2墩牌的概率比为3:1。但是我们在来考虑一下第一飞丢失给例如说东的K时的情况。现在第二飞的成功机会，就明显地比50%为大。东用K得进这一事实，使得可以提出一个假设，即东不持有Q，亦即他原来是持有KXX，而不是持有KQX。在东可能持有KQX的原始机会24%中，由于他本来也可能用Q赢进但却用K得进这一打法，有一半的机会（注：即12%）需要除掉。这是一个属于限制选择原则（Principle of Restricted Choice）（有关限制选择原则的全面讨论可参阅T. Resse著《专家牌局》（The Expert Game）一书。）的问题。其结果是，在第一飞丢失之后，第二飞的成功机会增大为68%。这个情况在牌张的级别较低时，具有极大的重要意义：K 10 9 57 4 2第一次明手用9飞，丢失给东的Q或J。第二次西又跟一小牌，这时概率比极有利于明手用10飞。关于这点，你可以通过先期（原始）概率的计算而得到证实。东持有AQX和AJX这两种组合中任一组合的可能性，比他持有QJX这一特定组合的可能性要大。自不待言，上述所有计算，都是以如下的一个假设为根据的，这就是当一个防守人持有相连的两张大牌时，他有一半的时间（注：即50%的机会）会打出假牌（注：即先打出较大的一张大牌）。如果一个防守人持KQX时，他总是先用K或者总是先用Q赢进，则问题就变得简单容易多了。在很多需要飞牌的组合中，限制选择原则这个因素并不发生作用。下面就是对这个问题的简单的数学解释：A Q 9X X X如果你希望得到2墩牌，则第一轮由明手用9飞，如有需要，第二轮再由明手用Q飞。你能够得到2墩牌的机会，可按下述方式计算：K在西手中的机会为50%，在其余的50%中有1/4的机会是西持有J10（注：即西持有J10的机会约为12%），所以你的总的成功机会约为62%。当不止一飞时如果你需要进行两飞，而每一飞的成功机会大致都是50%，则不利于两飞都成功的概率比为3:1，不利于两飞都不成功的概率比也是3:1。我们在前面双飞一节中所讲到的，不利于任何两张大牌作某一特定形式分配的概率比为3:1，实际上就是这个问题。如果需要进行三次飞牌，则不利于这三次飞都成功或都不成功的概率比为7:1。假如只需要这三飞中的两飞成功，机会是多少？答案是50%，因为两飞（或三飞）成功与两飞（或三飞）失败的机会是相等的。因此如果一个无将小满贯定约需要在三飞中有两个成功才能完成定约时，这个小满贯定约就是一个不错的定约，特别是在整副牌的打牌中，通常可能至少把其中的一个50%机会加以提高。关于理论方面的内容，就讲到这里为止。现在你已有了必要的知识，能够去处理很多牌例，只需运用你对概率比的认识和了解，你就能够为这些牌例找出最佳的做庄路线。示例 1第一个示例示范说明连续的机会与分别的机会（两者择一的机会，或选择性机会）之间的重要差别。 A K 8 3 2 A Q T 3 2 Q 3 2西首攻 6 Q 5 7 4 3 2 Q 8 5 A K J 4南做3NT定约，西首攻6。东用A赢进，并回出一小。西原来持有KJ76，因此防守方先得到4墩。先假设西换攻出一个黑花色的牌。现在南有8个顶张赢墩，同时还能利用连续的机会来产生第9墩牌。显然南将首先试花色。如果不是3-3分配，他还可以进行一飞。这里的计算并无多大重要意义，但为了练习起见，让我们算算庄家有多大的成功机会。作3-3分配的原始概率为36%，但在本例早期具体打牌情况下，这个概率肯定已经提高，变成非常接近50%（关于此点我们在下面还要讲到），飞的成功机会理论上为50%。这就是说在打牌按上述方式进行之后，南完成定约的机会约为75%。（假如你不熟悉联合概率的计算方法，你可以运用另外两个主要方法来进行计算。其一是分数计算法：假如作3-3分配的机会是1/2，并且飞成功的机会也是1/2，则这两个分数的乘积是1/4。因此不利于这两个机会都失败的概率比为3:1。其二是百分数计算法：在100次中有50次是3-3分配，而在其余的50次中有25次的一飞能够成功。这就是说在100次中有75次这一机会或另一机会能够成功。亦即同样表示不利于这两个机会都失败的概率比为3:1。）再回过头来看看这副牌例，西在赢得他们的4墩之后，更可能得多的是回出一小，无论他是否持有K都会这样。现在南就面临选择性机会（两者择一的机会）的形势。大多数牌手会说：“飞为好，这有50%的机会；不打的3-3分配，这只有36%的机会。”这些牌手有可能是对的，但是他们的分析推理则过于简单化。西持有KJXX四张这一事实，使得略有理由可以假定西是平均牌型，因此他完全可能持有3张。同时每人手中只剩下9张牌这一事实，又使得这时作3-3分配的可能性比打牌开始时的可能性增大。把这两个因素的影响相加，必须认为这时作3-3分配的机会已非常接近50%。因此飞的打法在机会方面并无多少优势之处，并且南还应该考虑到，如果立即用A得进，而又不是3-3分配时，定约并不是就必然失败。因为假如西持有4张和K，则在南打出第四轮时，西就会被挤住。示例 2现在先行强调一点，为时并不过早，这就是在有其他因素需要考虑时，单凭数学概率是绝对不能决定做牌路线的。 T 6 K 8 6 5 2 A K 7 3 Q T 8 7 3 Q T 7 3 T 8 2 7 5 2 K J 9 5 4 2 A 9 J 9 6 8 4 A Q J 4 Q 5 4 A K J 9 6 3双方有局，北发牌。对式比赛，叫牌过程如下：南西北东33NT6NT2 ——— 1341— 1——— 1 北虽然只有低限开叫牌力，但他判断Q可能是一张非常重要的牌。并且叫牌仍可在4NT上停止。2 毫无疑问，如果是盘式桥牌或队式比赛6才是正确的，但在对式比赛的情况下，南宁愿冒险叫成一个得分较多的6NT定约。西首攻8，南暗手Q赢得。南需要及早决定是打的3-3分配，还是飞西持有A。从数学概率上讲，正如你现在已经知道的那样，飞西持有A比打的3-3分配有较大的成功机会。但是这里由于有两个原因的影响，必须先打。其中一个原因比另一个原因更为明显一些。你能同时看出这两个原因吗？有利于先打的一个较为明显的原因，是东在有局情况下作了争叫，因而他多半持有A。另一个较不明显和较不引人注意的原因，就是先打可以使得南能够在最大限度上利用连续的机会。如果终于发现不是3-3分配，并且东又拿着长（东这时可能是6-1-4-2牌型），这时南仍可飞西有A。南也可用另一方式打牌，就是在打光对方的之后，再继续打几轮，希望借此能得出一些信息，之后再打。然而这一打法有一定缺点。最好还是在联手之间还联通自如的时候，就开始打，以便在发现东持有长时能够回入暗手，再向明手的K出一。示例 3我们在前面已经讲过，如果庄家明暗两手共持有一个花色的10张牌，但缺KXX三张牌时，概率比是相当不利于硬打办法来捉出单张K的。我们可以从原始概率的角度看到，单张K在A之后的机会，每100次中只有13次。还可以用另一方式来对待这类简单的命题。这就是一个花色的某一特定的牌张，总是更可能在持有较多数目这个花色牌张的那个防守人的手中。在上述的例子中，必然有一个防守人持有这个花色的2或3张牌，因此K在这个防守人手中的可能性，肯定比在另一个防守人手中的可能性为大。下面是一副简单的牌例，运用上述的分析推理办法，即可为你指出这副牌例的最佳做牌路线。 7 6 2 J 7 4 A K Q T K 6 3西首攻 J A 8 5 3 T 6 5 2 8 5 A 7 2南做1NT定约，西首攻J。庄家已看到6个顶张赢墩，然而除花色外，已没有时间能在别的花色中做除第7墩牌。从中得到第7墩牌的最佳机会，是明手用10飞。因为对庄家最有利的分配必须是4-3，并且持有4张的防守人比他的同伴更可能持有J。用硬打办法捉J，只当东持JX或JXX时才能成功；用10飞的打法，在西持JXXX或JXXXX时也均能成功（注：西持JX或JXX时自然能够成功）；显然后者的可能性较大。理解下面一点甚为重要，这就是在你已经判断出一个防守人持有一个花色的较长牌张时，则不管他垫掉这个花色的几张牌，只要他所垫掉的这几张牌不具有实际意义，则这个防守人持有这个花色的某一特定牌张的概率仍保持不变。用下面这个比较熟悉的组合情况作为例子： A J 10 X K X在打牌过程中，西已先后垫掉2张小。最后在南打出K并接打一小时，西均有小跟出，而这时Q仍未出现。此刻南有可能会对自己说：“现在西手中还剩下1张，东手中也剩下1张，所以现在东持有Q的可能性与西持有Q的可能性完全相等。”然而这样的推理乃是错误的。例如南已发现原来是5-2分配，则现在西手中剩下的一张是Q的概率比仍然是5:2。很多牌手看不到上述这点，并且实际上这个问题在桥牌杂志上已有长篇的讨论。如果用另外一种办法来检验一下这个命题，便可容易地看出问题的真象。假如有7个硬币，其中6个是铜币，1个是银币，并按照5个对2个的比例分发给两个人。显然拿到5个硬币的一个人持有银币的概率比为5:2。现在你让这个人扔掉他所持铜币中的2个、3个、甚至4个，但是不得扔掉银币。明显可以看出，这个人持有银币的概率比无论怎样都是保持不变的。上述牌例中所出现的情况与此完全相同。这就是西在任何情况下都不会把Q扔掉，而他所垫掉的其余均无实际意义。（注：即西持有Q的概率比仍然是5:2。）示例 4下面一副牌例是进行机会计算的一个非常复杂的练习。这里在三个花色中都有做出额外赢墩的可能性。 9 4 2 6 3 K J T K J 7 4 2西首攻 4 A J T 8 K Q T A 6 3 2 A 5南做3NT定约，西首攻4。东放J，南用K赢得。在西首攻之后，庄家有2墩、2墩、2墩和1墩。因此他还需要另外做出2墩牌。他可以丢失一次出牌权，即使是5-3分配也没有关系。把三个花色分别单独考虑，看看各个花色能另外做出2墩牌的机会是多少？1. 你在花色中有一联合飞。如果你注意不让的连拿受到封锁，则只要西不是同时持有KQ，你就能在中另外做出2个赢墩。从数学理论上讲，成功机会为76%，并且由于已经表明西持有一个以A领头的长套，所以这个成功机会还略有增加。2. 在花色中，只要西持有Q，明手用10简单地飞就能成功，因为这个单飞可以重复进行。先打出K，然后由明手出J，飞东有Q的打法，即使飞牌成功也只能另外做出一个赢墩。3. 如果你先打出A，然后第二轮时明手用J飞，则当是任何形式的3-3分配，以及西持QX或QXXX时，你都能够得到4墩。如果单独计算，这个成功机会为60%。显然花色能为做出另外2个赢墩提供最打的成功机会，不过这里你能够在一定程度上利用连续的机会。例如，你开始先打出A，接着打一给明手的K。如果打下来双张Q，你就能够肃清花色，肯定得到4墩。如果Q是单张，你可以从中做出第9墩牌。而假如Q没有出现呢？这时你再由明手出小，暗手用J飞。如果这墩牌丢失给西，而西又回出一小，以便借此与同伴保持联通时，你就可以用K进入明手，由明手出9飞（暗手跟8）。这是一个极佳的做牌路线，能提供约80%的成功机会。（硬打出双张或单张Q的机会为19%，如果此举失败，则你在其余的81%中还有3/4的成功机会，亦即总的成功机会是19%+61%。）然而无论如何还有另一做牌路线可以考虑。假设在连打A和K时，Q没有出现，你可以打出第三轮，这时作3-3分配的机会已超过50%；如果这一预期没有实现，你仍然能够回过头来飞。但是这时你需要西持有单张Q、双张QX或三张QXX才能成功（注：由于进张关系），所以总的成功机会不超过68%。也许你会问，为什么在连打A和K后，Q仍未出现时，作3-3分配的机会已超过50%。原因在于，这时不仅5-1和6-0的分配已经消除，并且4-2分配中的Q双张的情况也已消除。在这类形势下，这张Q是一张具有实际意义的牌，这就是说持有这张Q的防守人不到必要的时刻是不会打出Q来的。这个情况会影响概率比发生变化。当然你没有必要在牌桌上把这些数字逐一算出，如果你真的用大量时间去进行这样的运算，你必然会疲惫不堪。但是对这类形式的问题作些练习试验，将会使你的选择能力迅速提高，从而使你在临场时即使不能选择出一个数学上是绝对最佳的做牌路线，但无论如何能够选择出一个极其合格的做牌路线。示例 5下面一副牌例是一个小的测验，看看你在机会的计算方面取得了多少进步。 T 8 7 J 3 A 7 4 3 2 9 6 2 9 5 A K 9 8 K J 9 6 J T 8 2 Q T 6 5 4 Q T 8 K Q 7 3 A K Q J 6 4 3 7 2 5 A 5 4很多比赛选手在拿到类似南的这手牌时，均使用转移叫。例如在使用“南非得克萨斯约定叫”时，南这手牌将开叫4，表示一手有长套的强牌。由北来做定约，有时是比较好的（但本例情况并不如此）。但是让我们假设南开叫1，最后由他做4定约。防守方先连赢两墩顶张，接着换攻出J。从上面的牌型分配可以容易地看出获胜的做牌线路，但假若你没有看见东西两手牌，你能算出你做成定约的机会有多大吗？显然你能够得到第10墩牌的唯一希望，是明手的第5张，明手除A外，还另外需要有3个进张。根据前面所阐述的原则，你应当飞西有9，而不应当试图从东手中打出单张9。因此你的做牌计划应该是，用A得进之后，出给明手的A，暗手将吃一，出让明手用7飞，暗手大将吃一，并照此继续下去，在本例的牌张情况下，这一计划获得成功。按照上述打法，你要获得成功，必须是4-3分配，机会为62%；同时还必须西持有9，机会为50%。因此总的机会是100次中有31次能够成功。在本例的具体情况下，你别无其他打法，但在别的牌例中，你可能需要对两种可能的打法进行比较和加以抉择。值得注意一点，西的防守并不是最佳的防守。由于他持有强的，所以完全没有必要急于进攻。正确的防守是在第三墩牌时西换出一将牌。这样就可以在南将吃一次之前，先打掉明手的一个进张，从而使得庄家无法兑现已做好的第5张。示例 6在下面这副比赛中出现的牌例中，庄家从两个可能的打法中选择了一个较好的打法，然而他却没有看到他本来是有连续机会可以利用的。 A K 7 5 3 K T 3 6 5 A Q 8 Q J 9 2 7 5 2 K J 4 J T 7 T 8 4 9 8 7 3 2 9 6 4 3 2 8 6 4 A Q J 9 6 A Q T K 5南做6NT定约，西首攻J。南只需要另外做出1墩牌，即可完成定约。这里有两个明显的可能打法。其一是打的3-2分配，另一是飞两次。我们知道，3-2分配的机会为68%，双张成功的机会是75%（注：只需要有一飞成功）。在一个桌子上南没有看出进一步还有什么机会，所以就飞了两次，结果定约失败。“也不是3-2分配，”南沮丧地说：“看来我们应…… （原文漏排了。此处及下段起始的……，为制作者添加。）……了6NT定约。首先庄家没有必要把定约的命运孤注一掷地依靠花色。他可以先打A和K。如果是3-2分配，他的一切问题均获得解决，而如果发现的分配不利，仍可回过头来飞，同时还有其他机会可以利用。在本例的牌张情况下，东在第二轮时即行示缺。假如这时庄家就飞，则他的成功机会仍然比单独依靠飞两次的成功机会为大。但是这时他有一个成功机会更大的打法。这就是在发现西持有4张之后，他就可以用先打后打的次序，把和全部打光，达到如下的残局形势： 7 - 6 5 - Q - K J - - - 9 8 9 8 - A Q -这时应由明手出牌，如果庄家的读牌正确时，他就可以出投给西得进，迫使西回出而陷进他的间张。诚然西若是一个头脑敏锐的牌手，他就能够让庄家的打牌感到更为困难，办法就是到最后残局时他手中不是保留单张和2张，而是保留2张和单张K。我们所能够说的只有一点，就是在对付大多数的敌手时，要判断出当前是什么样的具体情况，并不是太困难的。示例 7持有类如AQ10这样的组合时，是不难看出有双飞机会的。但是在某些时候，机会就不是职业昂这样明显易于看到。 J 6 5 3 9 4 T 5 2 A 7 5 2西首攻 4 Q T 8 A K J 8 A Q K Q 8 6南持21点的均型牌，开叫2NT。北可以应叫3，这是史台曼，试图找到4-4的配合；但是当做高花定约并不一定比做3NT定约更好时，直接加叫成3NT，或许是更为可取的。西首攻4，东打J，南用Q得进。假定能提供4个赢墩，则南已有8墩牌。如果有足够的时间，南肯定能够从中至少做出1墩牌，但是现在还有时间吗？假若是4-4分配，南当然可以在花色中丢失一两次出牌权。然而的4-4分配是极少有可能的。在理论上4-4分配的机会为33%；但是这里另有一个事实，就是西从K领头的中首攻一小，而在防守3NT定约时，从有K的4张中首攻，很少可能是最好的选择。因此作5-3分配的可能性要大得多。南可以先打2或3轮，然后打一。防守方毫无疑问会回出第二轮，根据这轮上防守方两人打出的牌张情况，可能得到一些线索来判断究竟是5-3分配，还是4-4分配。假如看来仍是5-3分配，南还可以飞，以图得到第9墩。但是这里有一个更好的打法。南应先打出K和Q。假如是3-2分配，南就可以用进入明手两次。先由暗手出8给明手A得进，由明手出9飞。如果这一飞丢失给西的10，以后南还可以用7进入明手，由明手出，飞东有Q。只要东持有Q或10（以及Q10），南都能够得到3墩，成功机会（成功的概率比）为3:1。对于上述这种组合中所含有的机会，牌手有时可能忽略。还有两种组合形式所含有的机会，也是不太容易看清楚的：(1)A 10 4(2)A K 10 9Q 66 4对于组合(1)，最佳打法是先由明手出小牌给暗手的Q。如果丢失给西的K，则第二轮时由暗手出牌，明手用10飞。这一打法除西持K和东持J这一情况之外，均可得到2墩牌。其成功机会与持AQ10对XX时的成功机会相等。对于组合(2)，同样可飞两次，除东同时持有QJ的情况外，均可获得3墩牌。当你做花色定约时，如果你可以进行将吃飞，也会常常出现类似的机会。例如：A J 9 810这是你联手中的一个副牌花色，而你有足够的将牌。你出10给明手的A，由明手出8，只要东不盖打，你就让8飞过去。西大概会用K或Q赢进。之后你再重复一次这一飞牌，便能够在不再丢失牌墩的情况下多得到1墩牌，只当西同时持有KQ时才失败。示例 8当明手缺少进张时，就有可能出现一个问题，这就是在两个飞牌当中，庄家究竟应该进行哪一个飞牌。看看在下面这副牌例中，第二墩牌时庄家所面临的问题。 8 7 3 Q 5 8 6 4 2 A T 6 2 J 9 5 2 7 Q T 3 K Q 9 5 3 K T 6 K 8 4 2 J 9 5 J 8 7 A Q 4 A J T 9 6 3 A K 7 4南做3NT定约，西首攻K。南第二墩牌时应怎样打法？在看到全部牌张的情况下，可以很容易地看出，第二墩牌时由明手出一小，暗手用Q飞，便可得到最佳结果。当然庄家可以先由明手出Q飞，然后立即改飞，但是在Q这一飞获得成功时，继续再出飞便是很自然的事情，因为东可能持KXX三张。庄家之所以应当飞而不应飞的逻辑理由在于，飞（即使成功）也并不一定就能做成定约，因为东可能会持有KXXX四张。此外，还另有一个小小的附加理由，这就是如果的一飞失败，仍有打出单张K的机会；这个机会虽然很小，但却比飞失败之后打出单张K的机会远远为大。在下面的牌例中有同样类型的问题出现，但是其解决办法却不相同： A 7 4 2 8 3 7 5 2 J 6 4 3西首攻 K 5 3 A K J 7 6 2 K J T A K南做4定约，西首攻K，南用明手A赢得。现在南需要在飞与飞二者之间进行选择。如果明手还有一个进张，先飞（飞东有Q）当然是正确的，但是这里只当东持QX双张时，飞才是有利的（注：即才能够得到2墩）。因此这里南应当最为妥善地处理好，亦即第二墩牌由明手出，暗手用J。如果南能够得到6墩，他就可以由暗手出，最后得到6墩、2墩、1墩和1墩，完成定约。示例 9在前面的一些示例中，我们已不止一次地看到，连续机会远比选择性机会优越。看看在下面这副大满贯牌例中，你能否抉择出最佳的做牌路线。 Q J 8 K J 6 5 2 K 7 4 A J西首攻 9 A T A 9 A J 9 3 K Q T 7 3南北相当自由地叫成7NT定约。西作了一个安全性首攻9。庄家只有10个顶张赢墩，表面看来似乎他应该着眼于从花色中得到5墩牌。但是先试试不会有什么害处（如果失败同样最多只宕1墩），所以他连打A和K。本例的具体情况是，第二轮时Q从西手中掉出。这不会是一张假牌，所以第三轮时南暗手用9飞又获成功，结果得到4墩。现在南已有12个顶张赢墩。先试希望能硬打出Q，如果失败，最后还可以飞，必然是正确的打法。在兑现完赢张和之后，明手最后剩下的三张牌是8和KJ（注：暗手剩下A10和9）。结果Q在第二轮时被K硬打下来，定约完成。全副牌的牌张分配情况如下： Q J 8 K J 6 5 2 K 7 4 A J K 9 5 3 T 8 7 3 Q 8 9 8 6 7 6 4 2 Q 4 T 6 5 2 5 4 2 A T A 9 A J 9 3 K Q T 7 3现在再来看看另外一个问题，如果你联手的组合正好是上例中KJ652对A9，但现在你只需要准确得到4墩，应当怎样打法？有两种不同的打法。其一是先打出A，第二轮时用J飞；其二是第一轮时由明手出小，只要东不用大牌盖打，暗手就用9飞。我们称前一打法为打法(1)，后一打法为打法(2)。打法(1)在西持Q10XX四张时成功，打法(2)在东持Q10XX四张时成功，所以这两个打法的机会相等。在西持10X双张时，两种打法均失败。在东持10X双张时，两种打法均成功。两种打法的机会仍然相等。在西持QX双张时，两种打法都成功。在东持QX双张时，打法(1)失败，打法(2)成功。因此打法(2)，既先由明手向暗手A9出小，暗手用9飞的打法，有较大的成功机会。示例 10在下面这副牌例中，要找到最佳打法并不需要专门的概率比知识，但这副牌例中的连续机会却有可能被庄家忽略。 4 3 7 4 J 7 4 K J 7 6 4 2 Q T 9 8 6 5 K J T 9 2 9 8 - A J 2 8 6 5 3 6 5 3 2 8 3 K 7 A Q A K Q T A Q T 9 5南作约定性的2强开叫，叫牌过程如下：南西北东2—26 24— —4— 31—— 1东是防守性叫牌，目的在于使对方更难于找到一个配合。2 在这样的情况下，南不叫通常是最好的办法；假如北家持一手均型弱牌，他将会对3加倍，南则会不叫。西经过考虑之后，首攻一，而没有首攻。这一首攻不错，因为庄家在叫完将牌之后，连打，在第四轮时明手垫掉一张，再用将牌进入明手，由明手出，暗手用Q飞。结果防守方赢得K和A两墩牌。显然庄家应先由明手出一，而不要先飞，这是明智得多的打法。如果K丢失给西的A，庄家最后还可以飞（记住，他明手已在第四轮上垫掉一张）。在本例的牌张情况下，东将用A赢进第一轮，但是庄家暗手的K便可用来垫掉明手一张，从而完成定约。在下面一副牌例中，庄家也犯了类似的盲目性错误。 A Q 4 A T 6 3 7 5 2 5 4 3 T 8 7 5 3 K 4 A 6 J T 8 6 K 6 2 9 J T 9 8 3 K Q 9 2 J 9 Q J 8 7 5 2 K Q 4 A 7在两家不叫之后，东在自己一方无局的情况下作了第三家开叫1。南争叫1，西叫1，最后由南做4定约。对南的4定约，西首攻J。南用A得进，接着就飞将牌，捉死了西的K。然后由明手出一，暗手放K，但在他的K被西用A打死，西又回出一，南心中不禁大为震惊，之后南飞失败，结果定约宕1墩。在捉死将牌K之后，南只需打，而不动，便肯定能够做成定约。南可以丢失1墩给K，但在第三轮时便可以垫掉暗手一张，所以他最多丢失1墩、1墩和1墩，完成定约。示例 11你现在已经知道，如果你联手一个花色缺少5张牌，则这5张牌是3-2分配的概率约为68%。如果Q也在所缺的这5张牌之中，则Q有两个护张与Q只有一个护张相较，概率比为3比2。因此在100次中QXX出现41次，而QX只出现27次。但是随着打牌的向前进展，QX双张出现的机会可以增大。例如你明手有KXX，暗手持AJXXX，你先由明手打K，再由明手出一小牌，这时你右手对方（东）也跟出一小牌。到这个时刻，已有几种原始的可能分配业经消除，例如你右手对方（东）持单张Q或双张QX的可能性已不存在。因此在这个时刻，在100飞中有17次是东持QXXX四张；有31次是东持QXX三张；有21次是东持XXX三张而西持QX双张；有31次是西持QXX三张。在有了这种知识之后，你对下面这副牌例将怎样安排做庄计划？ A 6 3 2 6 4 A Q T 4 K 8 5西首攻 7 K 7 4 A 5 9 8 3 A J 7 6 2你做3NT定约，西首攻7，一下就击中你的弱点。显然你需要或者得到5墩，或者得到4墩。现在你已不可再丢失出牌权，因为你必须看到防守方有能够连得至少4墩的危险。你先打一小给明手的K，并由明手回出一。这时东仍跟出一小。现在你的问题十分清楚，就是你必须决定是否不飞，而依靠的双飞来得到4墩牌，这就要根据双飞的成功机会能否超过飞的机会而定。如果你飞，则在100次中你有31次能得到5墩牌。此外还需要加上为4-1分配（东持4张）且的飞牌成功的机会4%。假如你不飞而用硬打办法，则当西持双张QX时成功（21%），此外还要加上没有硬打出Q，但双飞成功的机会。在100次中有79次不能硬打出Q，而在这79次中有19次的双飞能够成功。这样19+21，即在100次中有40次能够硬打成功，而飞的打法只有35次成功。所以不飞的打法略优，虽然差别不是很大。假设组合不是KXX对AJXXX，而是KXX对AJ10XX。这时飞的打法就要优于硬打的办法，因为现在即使东持QXXX四张，也能将其全部飞死。示例 12在对两个做牌路线的成功机会进行比较时，切莫忽略从叫牌中和从前面的打牌中所能得出的任何信息。在下面一副牌例中，头两墩牌的打牌为判定K的位置提供了重要的线索。 J 7 5 3 8 4 K 9 7 4 2 A 5 8 K Q J 9 6 3 Q 8 3 T 9 6 Q 2 A T 5 J T K J 8 7 3 2 A K T 9 6 4 7 2 A 6 5 Q 4南做4定约。西首攻连打K和Q，然后换攻出10。在第三墩牌时，西换攻是必然的，南有可能让西的10飞给暗手的Q。但是西极少可能是从有K的中换攻出10，因为假如他持有K这张牌，则他可能会让东得进第二轮，有东回出；同样东也肯定会用A把第二轮超得过来，并回出。如果庄家让西的10从明手飞过去，他就无法避免还要丢失1墩。因此他必须考虑其他的可能机会。假如他懂得消去打法（本书的另一姊妹篇中对此有详细的阐述），他就可以看到他的最佳机会是立即用A得进，叫出防守方的将牌，兑现A和K，达到如下的形势： J 7 - 9 7 4 5 - J 9 6 Q 9 6 - A - K J 8 3 2 T 9 6 4 - 6 Q现在南打出Q脱手，东得进这墩之后，由于已没有可以回出，被迫送给庄家一个将吃加垫牌。这里在防守上有一点值得提出。西在第二墩牌时不要继续兑现第二轮，而先回出一，则是极好的防守打法。这样就会使得庄家的消去打法不能发挥作用，因为东在被南用Q投进（东用K赢得）时，可以回出一小，让西赢进，于是西便能够再兑现Q。示例 13庄家常常需要从AX对KJXX这种组合中得到3墩牌。如果做花色定约，庄家可以直接打一单飞，或者先打A和K然后将吃第三轮，希望三轮把Q打下来。我们在前面已经说明，Q在持有较多这个花色牌张（4张或更长）的那个防守人手中的可能性，比在持有较少这个花色的另一防守人手中的可能性为大。因此飞是机会较大的打法。为了练习，我们来算一下这两个打法的成功机会。飞的成功机会为50%，此外还可加上KJ之后的单张Q这一机会0.5%。将吃第三轮的打法，在任一防守人持QX或QXX时均能成功。QXX出现的机会为62%的七分之三，亦即27%；QX出现的机会为31%的七分之二，亦即9%。因此将吃第三轮的打法的总的成功机会约为37%左右。但是在实际的牌例中，将吃第三轮的打法有时可以是非常正确的，因为如果Q在第三轮没有被打下来，还可以有其他别的机会。例如下面一副牌例就很有意思： K 6 K 8 5 2 K J 6 3 A K 4西首攻 J A 7 2 A Q J 7 4 A 5 J 6 2南做7定约，西首攻J。在叫完防守方的将牌之后，庄家由明手将吃第三轮。现在他还需要做出第13墩牌。一个可能的打法是先兑现A和K，看看能不能打出双张Q，这个机会当然很小。如果此举失败，庄家再飞Q。但是另有一个较为优越的做牌路线。庄家可以先兑现A和K，将吃第三轮。如果未能把Q打下来，则当西持有Q和Q时，庄家仍然能够获得成功。因为庄家可以打成如下的残局形势： - - J A 4 - - Q Q 8无关紧要的牌 - 7 - J 6当南由暗手打出最后一张将牌时，西就在明手之前被挤住。假如南能够预见到挤牌的可能性（只要他学过挤牌打法，这就不是困难的），他便可以按下述方式计算出成功机会。我们已经看到，用将吃第三轮的办法来多得到1个赢墩的机会为37%。在其余的63%的机会中，有一半的机会西持有4张以上的，同时也有一半的机会西持有Q。因此大约有15%的机会南能够依靠挤牌打法做成定约。这样这一做牌路线的总的成功机会就是37%+15%，比简单的飞的打法的成功机会略大。任一防守人持双张Q的机会，虽然也不可忽略的，但在计算时并未计入，因为在QX双张时两种打法均能成功。将吃第三轮，并以挤牌为最后机会的打法，成功机会约增大2%，这对于满贯定约来说是不可轻视的。示例 14在3NT定约时，庄家如果有两个花色可以树立，并且成功机会又大约相等时，一般应树立较长的一个花色。但是这个原则有很多例外情况。假如任一个花色都能提供所需数目的赢墩，则在树立一个花色之前，将另一花色的顶张赢墩先行兑现，有可能是好的打法。有时候一些暗藏着的机会，容易逃脱庄家的注意。 6 4 K J 7 3 A Q 9 5 7 6 4 A J 8 7 5 T 6 5 4 6 3 T 8 Q 9 2 Q 8 K 7 4 2 Q 9 5 3 K T 3 A 9 2 J T 8 A K J 2南做3NT定约，西首攻7。东打Q，南用K赢得。如果的一飞能够成功，就可得到所需数目的全部赢墩，看来这似乎是自然的打法。但是在飞之前，还可探查一下其他的可能机会。例如庄家可以先试一试，但不是冒险去飞。他先出2给明手的K，并由明手出小给暗手的A。在东先后跟出8和Q时，由暗手出9飞就是相当安全的，从而得到4墩。（假如东是从Q108中先后跟出的8和Q，那就祝贺他一切顺利！）由于西首攻（注：说明持有长套），现在又表明他持有四张，所以他的和必然较短。因此这时的最佳打法是先兑现A（西有可能持单张Q），接着出给明手的A，再由明手出，暗手用J飞。注意，如果孤立地只考虑和两个花色时，多做出1墩牌的最佳机会，是先兑现A和K（注：希望Q是双张），然后飞。但是在已经发现西的两个高级花色都是长套之后，飞的打法就具有较大的成功机会。还有很少数的花色组合，如果对方的牌张分配非常幸运（注：对庄家说），庄家也能得到数目为未敢预料之多的赢墩：1. A 10 7 3 9 6 5 4 Q J K 8 22. A Q 4 K J 9 7 5 2 10 8 6 3上述两种组合看起来都不大可能得到4墩牌，但是在对方的牌张分配特别有利时，仍可成功地得到4墩牌。3. A 8 5 2 K Q 7 4 10 6 J 9 3这种组合如需得到3墩牌，应由明手出小，暗手用9飞。第二轮时由暗手出J，希望钉死东的双张10。假如你能够正确读出牌张的分配情况，则在东持双张K10或Q10时，你也能够得到3墩牌。示例 15根据你已经知道的关于概率比的知识，你看看在下面这副牌例中，第二墩牌时庄家应当怎样打牌？显然你将或者飞，或者飞，但是究竟应当飞哪一个花色？这里会出现在你初看之下所没有意料到的一些问题，或许会令你感到惊异。 Q 9 4 T 8 7 7 3 2 A 7 4 2西首攻 K A J 8 7 3 2 K Q J A Q 5 3你做4定约，西首攻K。这里没有任何理由需要缓拿，所以你明手用A赢进。你肯定要丢失1墩和1墩。因此你当然愿意既飞又飞，然而你明手却缺乏进张。假设你在第二墩牌时决定飞，则对成功机会进行计算是很容易的。如果飞成功（50%的机会），则除是4-0分配的情况外，你均能完成定约。由于这时若是4-0分配，则无论怎样你的定约都要失败（除非你打双明手牌——看着四手牌打），所以对于这个可能性可不考虑。如果的一飞失败，这时你唯一的希望是硬打出单张K。其成功机会是12.5%，即3-1分配的¼。但是你必须避免一个错误，这就是因此而认为你的总的成功机会是62%。因为硬打出K单张这个12.5%的机会，仅仅是在的一飞失败之后才会对你有所帮助。从而你决定飞这一打法，能够完成定约的机会为56%。假设你决定飞，而不飞。这时由明手出4比出Q为好，因为Q以后有可能成为明手的进张。你能够1墩不失的机会有：1. 东持双张KX，其机会为2-2分配的一半，即20%；2. 东持单张K，其机会为3-1分配的八分之一，即6%。以上两项相加你共有26%的成功机会。但是你还有下面一种成功机会：3. 的一飞失败（50%的机会），但你以后能够进入明手再飞（成功机会50%）。这两种情况同时出现的机会为25%。因此总的说来，第二墩牌时你若飞（暗手用J飞），总的成功机会只有51%，而飞的总的成功机会则达56%。此外，还有另一点需要考虑。西若是一位桥牌高手，并且持有K10X或KXX，他因为看到庄家明手缺少进张，在暗手用J飞时，他就将让掉。如果庄家接打A，他就再也无法进入明手去飞。除以上各种情况外，西还有机会能够打出漂亮的以假乱真的防守。如果西持有K和双张10X，则在庄家暗手用J飞时，西就可以扔出10。假若庄家认为西的10是单张，第三墩牌时他就可能由暗手出一小，结果丢失1墩给东的双张K。以上各种可能性使得在第二墩牌时飞的打法更加优越。当然在牌桌上的临场情况下，你没有时间去对上述所有各种机会一一加以计算。一个有经验的牌手将会用如下的自语而把上述全部计算过程加以简化：“我如果立刻飞，只要这一飞能够成功，我就一定能够做成定约。而如果飞失败，我还有希望硬打出单张K。我如果在第二墩牌时飞，即使成功，我也并不一定就必然做成定约。”示例 16下面是一次欧洲锦标赛中，奥地利对瑞士一场比赛中的一副牌例。在这副牌例中，庄家面临的问题，与上一示例中的问题相似。 J 9 7 6 2 A 8 4 T 6 T 5 3 K 5 4 Q J 9 6 2 4 Q 9 7 2 Q T 8 3 K T 5 3 K 7 3 8 6 A 7 A Q J 9 8 5 2 A K J 4瑞士队的南北通过如下的叫牌过程，叫成6：南北2344NT6 2NT345— 西首攻Q，明手A赢进。现在南必须决定是否飞，还是飞。如果看到四手牌，就显而易见只要飞就可解决全部问题。但是让我们也象庄家在牌桌上所必须进行的那样，对各种机会加以考虑。打法一：第二墩牌时由明手出10飞。这一打法在东持有K时成功（但当他持4张时失败），或在的一飞失败之后，Q能在一轮或二轮上被打下来也能成功。飞捉出K的成功机会为45%，硬打出Q的机会为19%。但是这个19%的机会是飞失败之后的55%的机会中的一个机会，所以只能提供约10%的成功机会（注：19%×55%）。因此总的成功机会约为55%。打法二：在第二墩牌时由明手出小，暗手用J飞。这一打法在东持单张Q、QX或QXX时方能成功，总的机会为1+8+18，即27%。但是几乎有近一半的机会将出现一种情况，即J的一飞会丢失给西的Q，但庄家能够用10再进入明手，最后再飞。其成功机会约19%。此外，还可能有另一种情况，即暗手用J飞时赢得但东却持有QXXX四张。这时庄家的最佳打法是继续打。如果西将吃第三轮，则庄家仍有可能将吃第四轮进入明手，再飞。这有约4%的成功机会。因此打法二的总的成功机会为27+19+4，共约50%，比打法一的成功机会略低。在比赛时庄家采用了打法二。J丢失给西的Q，但是以后庄家用10进入明手，再飞，终于做成定约。当时已经有人看到，西在第一墩时不用Q赢进，乃是极好的防守。这样庄家的定约突然之间变成根本无法做成。示例 17在前面两个示例中，需要进行一些严密的推理。本例则是一副相当简单的牌，但是庄家在这副牌上，看来还是犯了一个盲目的错误。 J 5 3 A K J 2 A 6 2 7 4 3 8 6 Q T 8 7 J T 9 8 A T 6 Q T 9 9 6 5 4 7 5 4 Q J 9 A K 7 4 2 3 K Q 3 K 8 5 2南北联手牌的最佳定约应是3NT，但南最后做4定约。西首攻J，南暗手K赢进后连打A和K，但Q没有被打下来。现在这里在和中均有飞牌，但看来庄家似乎愿意依靠A的位置来决定定约的成败。于是他用A进入明手，由明手出一小，东打Q。南暗手盖K，但被西用A赢得，西回出，结果南失1墩和3墩，定约迅速失败。即使南准备飞而不飞，他也应当先打A和K，因为有打出双张Q的可能性。不过这并不是问题的关键。“你为什么不试的一飞？”北询问说。“因为如果飞失败，我就要多宕1墩牌，而我们又是有局方，”南颓丧地说。“但是你若飞，你就有两个机会，”北指出说。“如果J赢得，你便能够立即用垫掉2张。如果的一飞失败，则当东拿着A时，你仍能做成定约。因为在用K赢得第一或第二轮时，你就可以进入明手，用垫掉2张。”当然这是正确的。南应当利用这个75%的机会，而不应采用只有50%的机会，因此冒险一试有可能宕2墩的打法，比依靠只可能宕1墩的打法是更为值得的。示例 18庄家常常未能看到一个将吃双飞只要两张牌中的一张牌处于有利位置，就有超过75%的成功机会。在下面这副牌例中，大多数的庄家都会去树立一个不该树立的花色。 K J T 9 8 7 A Q T 7 K 6 5 Q 3 2 6 5 K J 9 8 4 J 9 7 A 6 5 4 4 3 T 6 Q T 8 4 3 - K J 9 8 7 2 A Q 5 3 2 A 2南北没有经过多长时间就叫成了6：南北126 14— 西意识到南有可能利用明手将吃，于是他首攻一将牌。南粗略地看了一下明手的，就由明手出一给暗手的A，并由明手将吃一，用A回入暗手，由明手最后一张将牌再将吃一。但不幸得很，东这时示缺，结果南还要丢失2墩。象这种单张对AQXXX的组合，正确的打法常常是在第一轮时用Q飞，但在本例的情况下这一打法则是错的，因为如果西只持有KXX或KXXX时，他就可能在用K赢进之后又回出第二轮将牌。先用A赢得，南只要求对方的是4-3分配，便能成功（因为以后他可以送掉1墩），所以南认为自己运气不佳。假如你检查一下概率，你就可以看出树立可以得到更大的机会。第二墩时由明手出7，只要东不盖打，就让它飞过去，以后如有需要可再行将吃飞一次，除西持有A和Q的情况外，南均可成功。这一打法的成功机会为76%。树立的打法，在任一防守人持KXXXX（或更长）时均将失败。5-2分配的机会为31%，其中KX双张的机会为9%。把KX双张的机会9%与4-3分配机会62%相加，总的机会为71%。所以树立的打法比树立的打法成功机会略小。庄家可以在一定程度上将两种机会加以联合利用。南应当由明手赢进西的
桥技精华丛书 T·Reese & R·Trézel 著周家骝 译
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桥牌防守艺术
掌握桥牌中的概率比
众所周知，数学家和著书人并不一定能成为一个优秀的桥牌手，而一个优秀的桥牌手却必须具有著书人和数学家的某些技能。桥牌手必须知道桥牌中的概率比，以及如何应用这些概率比。
本书与这套从书中的其余各书略有不同，在本书的开始部分有一定篇幅的理论探讨内容。我们考虑这部分内容对于从未接触过任何形式的概率比的牌手说来，可能会产生困难。但是我们认为，先读一读这部分理论内容，然后学习示例，再回过头来看看理论问题，就可以对内容实质获得更为清楚的印象。
桥牌并不是一种数学游戏，但是桥牌中出现的各种机会都要用到数学。举一个最简单的例子，AQ飞牌成功的机会为50%。对于一个花色的各种可能分配，以及对于通过一轮、两轮或三轮硬打下来某一大牌的可能性，也可以作出这种类似的计算。
本书的第一部分主要涉及理论内容，因为假如你不知道和不懂得概率比，则你对于很多牌就不可能作出一个明智的做庄计划。下面先用一个实际的情况为例。
J 9 7 8 4 7 2 A K 9 7 4 3
西首攻 3
K 8 2 A K Q J A J T 6 6 5
在两家不叫之后南开叫1。北应叫2，南跳再叫3NT，成为最后定约。
西首攻3，东用A得进，并回出一。西用Q赢得，并再出而做好这个花色；已经看到是4-3分配。
现在南立即看到了8个赢墩。并且由于外面只剩下一张，所以他允许丢失1墩或者1墩。问题在于究竟他应该送掉1墩呢，还是应该计划进行的联合飞（conbination finisse）？
为了对上述问题作出准确的回答，你需要知道：
要能够迅速回答这类问题，你需要知道：
1. 作3-2分配的机会是多少？2. 通过先用10飞，再用J飞的办法，在中多做出一个赢墩的机会是多少？
除与这两个机会有关的数学希望之外，还有一个因素也必须加以考虑。这就是西用4张作出的首攻。这个事实使得的平均分配的可能性略为增大。
现在你的直觉和经验可以告诉你，做是较好的机会。由于这个问题需要涉及概率比，这里暂不多讲，关于具体的概率比以后都要讲到。目前先让上述问题略为复杂一点，即南的不是AJ10X，而是改为AQ9X，情况又将如何。
7 2
A Q 9 4
假如你允许丢失1墩，则正确的打法是先由暗手用9飞。如有需要以后再用Q飞，这个打法可以获得东持J10X这一额外机会。如果南暗手持有这样的，他应该在中还是在中做出所需要的另外一个赢墩？
1. 牌型分配概率；2. 硬打出特定牌张的概率；3. 连续飞牌的成功机会。
后面我们将分别讨论上述三个题目的理论内容，然后看看读者能不能把这些理论在各种不同牌例的做庄打牌上加以应用。
假设你是庄家，并假设你联手中共有7张。这样便可能对剩余的6张在两个防守人的分配情况作出估计。（注意，你自己联手中的7张牌，无论是6-1或4-3分配，对于其余6张牌的分配概率均无影响。）
这一类的计算要受到很多因素的影响，例如叫牌情况、打牌情况、以及某些不确定的因素如一个防守人的打牌习惯等。但是原始希望（initial expectancies）（注：即先期概率或原始概率）仍然是制定任何一个打牌计划的起点。
对方两人持有的牌张数目
分 配概率
8 张
5—3 47%4—4 33%6—2 17%
7 张
4—3 62%5—2 31%6—17%
6 张
4—2 48%3—3 36%5—1 15%
5 张
3—2 68%4—1 28%5—04%
4 张
3—1 50%2—2 40%4—1 10%
3 张
2—1 78%3—0 22%
2 张
1—1 52%2—0 48%
在读完本书时，你对于大多数的这类概率将会熟悉。现在可以先提出几个容易记忆的一般原则。当对方持有的牌张数目为偶数（8、6或4）时，可能性最大的分配是偏离均等分配最近的那一种分配（5—3，4—2，3—1）。但对方只有2张牌的情况例外，这时1—1分配（均等分配）的可能性比2—0分配的可能性略大一点。当对方所持牌张的数目为奇数（7、5或3）时，最接近均等的各种分配（4—3，3—2，2—1）的可能性，比其他各种不均等分配可能性要大得多。特别是4—3分配的可能性为5—2分配可能性的2倍，3—2分配的可能性比4-1分配可能性的2倍还大。
现在必须强调指出，上述概率都是原始概率，亦即在打牌开始之前所存在的概率。一般讲，打牌过程越往前进行，均等分配的可能性也变得越大。（可举出一个极端的例子，在打完第10墩牌时，如果一个花色在对方手中还有6张牌，则这6张牌必然是3—3分配。）同样，如果你连打某一个花色，对方两人都有牌跟出时，则这个花色在对方两人手中作均等分配的可能性变大。例如你联手的一个花色为AKQXX对XX；假如对方两人在你连打A和K时均有牌跟出，则5—1和6—0分配的可能性已经消除，因而4—2和3—3分配的相对机会均增大，分别约为57%和43%。对方跟出的牌张的情况，以及对方有可能会打假牌或者已经打了假牌等因素，对上述概率均能产生影响。
有一些喜欢自作聪明的牌手，常常怀疑上面所给出的概率数字。例如，他们争论说外面2张牌的2—0分配可能性与1—1分配可能性完全相等，他们所提出的理由是，当一张牌从一个防守人手中跟出时，则另一张牌在同一个防守人手中的可能性，与在另一个防守人手中的可能性相等。这样的争论理由，可以应用到硬币正反面的猜测上，至于桥牌的一副牌例则情况有所不同，原因在于两个防守人都必须各有13张牌。因此当两张牌中的一张牌发给一个防守人时，第二个防守人相对于前一个防守人说来，他就有13张未知的牌，而前一个防守人只有12张未知的牌。从这里计算得出的概率为52:48，有利于1—1分配。
按照同样方法，有人也许会认为4—4分配应当是比5—3分配可能性更大的分配。假若从已经知道两个防守人各有3张牌的时刻开始进行计算，这一看法是正确的。但是最初发出的4张牌在对方两人手中的分配有可能是3-1。从这个时刻算起，持有3张牌的这个防守人最后能够拿到较长牌张（5张牌）的可能性较大。
当你联手持有一个常见的花色组合时，例如AXX对KJXXX，你可能需要知道能够得到5墩牌或有时候能够得到4墩牌的机会是多少。下面我们将对这类问题的一些最为常见的情况逐一加以讨论。在每种情况下，都以前面的表示分配概率的数字表作为指导。我们根据这些数字作了实用的安排。
在前面已经看到，1—1分配比2—0分配可能性略大。因此在没有特别的信息时，如果对方共有KX两张牌，你应该倾向于采用硬打的办法。
首先看看你缺K的情况。假设你联手持有：
A Q 10 X X X
J 9 X X
你会记得有关的概率为：2—1分配78%，3—0分配22%。你认为从你右手防守人手中硬打出来单张K的机会的大小如何？计算极为简单。K是可能作单张的3张牌中的1张，因此在一个或另一个防守人手中K为单张的机会共为78%的1/3，亦即26%；所以东持单张K这一特定情况的机会为13%。
有时候你会看到有些牌手从暗手出J，当西跟出小牌时，他就由明手打A。他们所持的论点（“现在外面一共只有两张牌，所以东持有单张K与持有单张小牌的机会是相同的”）有一个缺陷，然而目前对此没有必要多加讨论。此刻从东手中硬打出单张K的机会，比原始的13%略高，因为某些分配情况业已消除；然而仍旧比正常飞牌的成功机会低得多。
现在再假设你缺Q：
A K J X X X
10 9 X X
假定你可以先打A，并在需要时回入暗手出牌飞，则只当东持有QXX时才会丢失1墩牌。也就是说你丢失1墩牌的机会为3—0分配的原始概率22%的1/2，亦即11%。
这个数字并不具有多大的实际重要性，但是上述的计算方法能够向你说明这类概率比是怎样得出的。
这时各种分配的概率为3—1分配50%，2—2分配40%，4—0分配10%。假如你缺少J109X四张牌，则你丢失1墩牌的机会为10%；而如果J在一个防守人手中你能把它捉死，而在另一个防守人手中你就不能把它捉死时，你丢失1墩牌的机会仅为5%。
通常关键的一张牌是Q。首先假设你从两个方向都可以飞牌，并且联手还持有10和9。
K J 10 X X
A 9 X X
如果对方两人中有一人这个花色是短套，则一般会有某些线索能够有助于判断出谁持短套。先不管这类线索，假设你先打出A，接着由暗手出一小牌，如果这时西又跟出一小牌。这时概率比略为有利于硬打。诚然原始概率为3—1分配50%，2—2分配40%，但这时有一些分配情况已经消除，所以概率比业已发生变化。持这种组合时你能得到5墩牌的机会为：所有的2—2分配，40%；任何一个防守人持单张Q，12.5%；东缺门，5%；总计的理论值为57.5%。
但是当你没有10、9时，前景就要略差一些：
A J X X
K X X X X
采用硬打的办法时，当这个花色是2—2分配，或者任何一防守人持单张Q，你能够得到5墩牌。亦即得到5墩牌的机会为52.5%；因此如果一个小满贯定约要依靠这种花色组合得到5墩牌时，这个小满贯定约是合格的。
现在假设你有10，但是没有J（同时缺Q）：
A 10 X X
采用硬打办法，这个花色为2—2分配时，可获成功（亦即得到5墩牌），机会为40%。然而获得5墩牌的机会，可以比40%为大。因为如果在第一轮时由东手中掉出Q或J，并在第二轮时你决定明手用10飞（这是应当采取的常规打法），则当东持QJ双张（约6.5%）时你丢失1墩牌，但当东持单张Q或J（约12.5%）时你可1墩不失。因此持这种花色组合时，你得到5墩牌的机会总计约为46%。
这时的分配概率为：3—2分配60%，4—1分配28%。先假设你缺J，并且一个防守人持JXXX四张时你肯定能将J捉死：
A Q X
K 10 X X X
只有在5—0分配（4%）及西持JXXX四张（约11%）时，你才不能够得到5墩牌。
通常关键牌是Q。下面是一种常见的情况：
K J X X X
A 10 X
如果没有8和9等中间张，你能够得到5墩牌的机会：西持QX（13.5%）或西持QXX（20.5%），以及任何防守人持单张Q（5.5%）。（当然你也可以飞东有Q，其成功机会相同。）
假如你没有10，你就会失掉一个防守人持单张Q的机会：
A X X
现在你只有在西持QX或QXX时，才能得到5墩牌（约34%）。你能够得到4墩牌的机会为85%，只有在5—0分配或东持Q10XX（或类似的）四张时才会失败。
下面一种组合情况常常会给庄家造成困难：
K 10 9 X X
你能得到5墩牌的机会为：西持QJ双张（3—2分配的二十分之一，约3.5%），或东持QJ双张并且你用硬打办法；或东持单张大牌（4—1分配的五分之一，约5.5%）并且在第二轮时你明手用10飞。
由于单张大牌比双张QJ的可能性为大，比率为5对8，因此如果在第一轮你打A时，从东手中掉出一张大牌，第二轮时你就应当由明手用10飞。
这时的分配概率为：4—2分配48%，3—3分配36%，5—1分配15%。
下面是常见的一种组合：
A Q 10 X
K X X
你先打小牌给明手的A，回出小牌给暗手的K，再由暗手出小牌，这时西仍跟一小牌。J还未出来。由于原始概率4—2分配比3—3分配为大，所以在这个时刻很多牌手仍然认为飞是正确的打法。但是他们忽视了一点，就是打牌进程已经把东持双张JX这种4—2分配消除。所以这时有关概率已有所变化，使得硬打比飞的成功机会为大。关于此点你可以通过先期（原始）概率得到证实。东持JXX三张的原始机会为18%（3—3分配概率36%的1/2）。东持双张的机会为24%，但是还必须从中减掉JX双张的机会（24%的1/3），亦即东持不带J的双张机会为16%。因此第三轮时你若用飞牌打法，从理论上说能够获得成功的概率比为16%对18%（注：即不利于飞牌，而有利于硬打）。此外，前面我们已经讲过，打牌愈是往前进行，均等分配的可能性愈是变大。
在缺少6张牌时，你通常关心的一张牌是Q：
A X
只当西持QXX三张时，你才能够得到5墩牌，亦即只有18%的机会。常常只需要得到4墩牌。假设你准备在第二轮时由明手用J飞，这样你能够得到4墩牌的机会为：所有的3—3分配（36%），以及西持QXXX四张（16%）和QX双张（18%），总计60%。
这时4—3分配的可能性为5—2分配可能的2倍（62%对31%）。你持：
X
A K J X X
第一轮时用J飞，则你能够得到4墩牌的机会是4—3分配的概率的1/2，即31%。
A K Q 10 X
第一轮时用10飞，则你能够得到5墩牌的机会同样是31%。
如果只需要飞一张大牌，则成功机会显然为50%。本章讨论需要飞2张或更多张大牌时的成功机会。
“双飞”一词系指需要2张大牌都正好处于有利位置，例如KJ在AQ10之前，或AQ在KJX之前。你联手持：
A Q 10
X X X
要能得到3墩牌，必须K和J都在西的手中。好打赌的人都知道，不利于两个各为50%的机会同时出现的概率比为3:1（注：即不同时出现的机会为3，同时出现的机会为1）。但是在桥牌的一副牌例中，此概率比略有不同，因为如果西有这两张大牌中的一张大牌，则相对说来东就有13张未知牌，而西只有12张未知牌，所以东持有另一张大牌大牌的概率就是13:12，因而西同时持有这两张大牌的机会不超过24%（而不是25%）。
值得注意一点，不利于任何两张大牌作某一特定形式分配的概率比，都非常接近于3:1。现在假设你缺A和A。它们的分配有4种可能性：两个A都在西手中；两个A都在东手中；东和西各有一个A，这又有两种情况。我们在前面已经看到，这两个A作1—1分配的可能性略占一点优势。
所谓联合飞（conbination finisse），是指在两张大牌中只需要一张大牌处于有利的位置。这个领域中的成功机会是不容易清楚看出的。你联手持：
A J 10
除东同时持有KQ的情况以外，你都能够得到2墩牌。这就是说有利于你得到2墩牌的概率比为3:1。但是我们在来考虑一下第一飞丢失给例如说东的K时的情况。现在第二飞的成功机会，就明显地比50%为大。东用K得进这一事实，使得可以提出一个假设，即东不持有Q，亦即他原来是持有KXX，而不是持有KQX。在东可能持有KQX的原始机会24%中，由于他本来也可能用Q赢进但却用K得进这一打法，有一半的机会（注：即12%）需要除掉。这是一个属于限制选择原则（Principle of Restricted Choice）（有关限制选择原则的全面讨论可参阅T. Resse著《专家牌局》（The Expert Game）一书。）的问题。其结果是，在第一飞丢失之后，第二飞的成功机会增大为68%。这个情况在牌张的级别较低时，具有极大的重要意义：
K 10 9 5
7 4 2
第一次明手用9飞，丢失给东的Q或J。第二次西又跟一小牌，这时概率比极有利于明手用10飞。关于这点，你可以通过先期（原始）概率的计算而得到证实。东持有AQX和AJX这两种组合中任一组合的可能性，比他持有QJX这一特定组合的可能性要大。
自不待言，上述所有计算，都是以如下的一个假设为根据的，这就是当一个防守人持有相连的两张大牌时，他有一半的时间（注：即50%的机会）会打出假牌（注：即先打出较大的一张大牌）。如果一个防守人持KQX时，他总是先用K或者总是先用Q赢进，则问题就变得简单容易多了。
在很多需要飞牌的组合中，限制选择原则这个因素并不发生作用。下面就是对这个问题的简单的数学解释：
A Q 9
如果你希望得到2墩牌，则第一轮由明手用9飞，如有需要，第二轮再由明手用Q飞。你能够得到2墩牌的机会，可按下述方式计算：K在西手中的机会为50%，在其余的50%中有1/4的机会是西持有J10（注：即西持有J10的机会约为12%），所以你的总的成功机会约为62%。
如果你需要进行两飞，而每一飞的成功机会大致都是50%，则不利于两飞都成功的概率比为3:1，不利于两飞都不成功的概率比也是3:1。我们在前面双飞一节中所讲到的，不利于任何两张大牌作某一特定形式分配的概率比为3:1，实际上就是这个问题。
如果需要进行三次飞牌，则不利于这三次飞都成功或都不成功的概率比为7:1。假如只需要这三飞中的两飞成功，机会是多少？答案是50%，因为两飞（或三飞）成功与两飞（或三飞）失败的机会是相等的。因此如果一个无将小满贯定约需要在三飞中有两个成功才能完成定约时，这个小满贯定约就是一个不错的定约，特别是在整副牌的打牌中，通常可能至少把其中的一个50%机会加以提高。
关于理论方面的内容，就讲到这里为止。现在你已有了必要的知识，能够去处理很多牌例，只需运用你对概率比的认识和了解，你就能够为这些牌例找出最佳的做庄路线。
第一个示例示范说明连续的机会与分别的机会（两者择一的机会，或选择性机会）之间的重要差别。
A K 8 3 2 A Q T 3 2 Q 3 2
西首攻 6
Q 5 7 4 3 2 Q 8 5 A K J 4
南做3NT定约，西首攻6。东用A赢进，并回出一小。西原来持有KJ76，因此防守方先得到4墩。
先假设西换攻出一个黑花色的牌。现在南有8个顶张赢墩，同时还能利用连续的机会来产生第9墩牌。显然南将首先试花色。如果不是3-3分配，他还可以进行一飞。
这里的计算并无多大重要意义，但为了练习起见，让我们算算庄家有多大的成功机会。作3-3分配的原始概率为36%，但在本例早期具体打牌情况下，这个概率肯定已经提高，变成非常接近50%（关于此点我们在下面还要讲到），飞的成功机会理论上为50%。这就是说在打牌按上述方式进行之后，南完成定约的机会约为75%。
（假如你不熟悉联合概率的计算方法，你可以运用另外两个主要方法来进行计算。其一是分数计算法：假如作3-3分配的机会是1/2，并且飞成功的机会也是1/2，则这两个分数的乘积是1/4。因此不利于这两个机会都失败的概率比为3:1。其二是百分数计算法：在100次中有50次是3-3分配，而在其余的50次中有25次的一飞能够成功。这就是说在100次中有75次这一机会或另一机会能够成功。亦即同样表示不利于这两个机会都失败的概率比为3:1。）
再回过头来看看这副牌例，西在赢得他们的4墩之后，更可能得多的是回出一小，无论他是否持有K都会这样。
现在南就面临选择性机会（两者择一的机会）的形势。大多数牌手会说：“飞为好，这有50%的机会；不打的3-3分配，这只有36%的机会。”
这些牌手有可能是对的，但是他们的分析推理则过于简单化。西持有KJXX四张这一事实，使得略有理由可以假定西是平均牌型，因此他完全可能持有3张。同时每人手中只剩下9张牌这一事实，又使得这时作3-3分配的可能性比打牌开始时的可能性增大。把这两个因素的影响相加，必须认为这时作3-3分配的机会已非常接近50%。因此飞的打法在机会方面并无多少优势之处，并且南还应该考虑到，如果立即用A得进，而又不是3-3分配时，定约并不是就必然失败。因为假如西持有4张和K，则在南打出第四轮时，西就会被挤住。
现在先行强调一点，为时并不过早，这就是在有其他因素需要考虑时，单凭数学概率是绝对不能决定做牌路线的。
T 6 K 8 6 5 2 A K 7 3 Q T
8 7 3 Q T 7 3 T 8 2 7 5 2
K J 9 5 4 2 A 9 J 9 6 8 4
A Q J 4 Q 5 4 A K J 9 6 3
双方有局，北发牌。对式比赛，叫牌过程如下：
南
西
北
东
33NT6NT2
———
1341—
1———
1 北虽然只有低限开叫牌力，但他判断Q可能是一张非常重要的牌。并且叫牌仍可在4NT上停止。2 毫无疑问，如果是盘式桥牌或队式比赛6才是正确的，但在对式比赛的情况下，南宁愿冒险叫成一个得分较多的6NT定约。
西首攻8，南暗手Q赢得。南需要及早决定是打的3-3分配，还是飞西持有A。
从数学概率上讲，正如你现在已经知道的那样，飞西持有A比打的3-3分配有较大的成功机会。但是这里由于有两个原因的影响，必须先打。其中一个原因比另一个原因更为明显一些。你能同时看出这两个原因吗？
有利于先打的一个较为明显的原因，是东在有局情况下作了争叫，因而他多半持有A。另一个较不明显和较不引人注意的原因，就是先打可以使得南能够在最大限度上利用连续的机会。如果终于发现不是3-3分配，并且东又拿着长（东这时可能是6-1-4-2牌型），这时南仍可飞西有A。南也可用另一方式打牌，就是在打光对方的之后，再继续打几轮，希望借此能得出一些信息，之后再打。然而这一打法有一定缺点。最好还是在联手之间还联通自如的时候，就开始打，以便在发现东持有长时能够回入暗手，再向明手的K出一。
我们在前面已经讲过，如果庄家明暗两手共持有一个花色的10张牌，但缺KXX三张牌时，概率比是相当不利于硬打办法来捉出单张K的。我们可以从原始概率的角度看到，单张K在A之后的机会，每100次中只有13次。
还可以用另一方式来对待这类简单的命题。这就是一个花色的某一特定的牌张，总是更可能在持有较多数目这个花色牌张的那个防守人的手中。在上述的例子中，必然有一个防守人持有这个花色的2或3张牌，因此K在这个防守人手中的可能性，肯定比在另一个防守人手中的可能性为大。
下面是一副简单的牌例，运用上述的分析推理办法，即可为你指出这副牌例的最佳做牌路线。
7 6 2 J 7 4 A K Q T K 6 3
西首攻 J
A 8 5 3 T 6 5 2 8 5 A 7 2
南做1NT定约，西首攻J。
庄家已看到6个顶张赢墩，然而除花色外，已没有时间能在别的花色中做除第7墩牌。从中得到第7墩牌的最佳机会，是明手用10飞。因为对庄家最有利的分配必须是4-3，并且持有4张的防守人比他的同伴更可能持有J。用硬打办法捉J，只当东持JX或JXX时才能成功；用10飞的打法，在西持JXXX或JXXXX时也均能成功（注：西持JX或JXX时自然能够成功）；显然后者的可能性较大。
理解下面一点甚为重要，这就是在你已经判断出一个防守人持有一个花色的较长牌张时，则不管他垫掉这个花色的几张牌，只要他所垫掉的这几张牌不具有实际意义，则这个防守人持有这个花色的某一特定牌张的概率仍保持不变。用下面这个比较熟悉的组合情况作为例子：
A J 10 X
K X
在打牌过程中，西已先后垫掉2张小。最后在南打出K并接打一小时，西均有小跟出，而这时Q仍未出现。此刻南有可能会对自己说：“现在西手中还剩下1张，东手中也剩下1张，所以现在东持有Q的可能性与西持有Q的可能性完全相等。”然而这样的推理乃是错误的。例如南已发现原来是5-2分配，则现在西手中剩下的一张是Q的概率比仍然是5:2。
很多牌手看不到上述这点，并且实际上这个问题在桥牌杂志上已有长篇的讨论。如果用另外一种办法来检验一下这个命题，便可容易地看出问题的真象。假如有7个硬币，其中6个是铜币，1个是银币，并按照5个对2个的比例分发给两个人。显然拿到5个硬币的一个人持有银币的概率比为5:2。现在你让这个人扔掉他所持铜币中的2个、3个、甚至4个，但是不得扔掉银币。明显可以看出，这个人持有银币的概率比无论怎样都是保持不变的。上述牌例中所出现的情况与此完全相同。这就是西在任何情况下都不会把Q扔掉，而他所垫掉的其余均无实际意义。（注：即西持有Q的概率比仍然是5:2。）
下面一副牌例是进行机会计算的一个非常复杂的练习。这里在三个花色中都有做出额外赢墩的可能性。
9 4 2 6 3 K J T K J 7 4 2
西首攻 4
A J T 8 K Q T A 6 3 2 A 5
南做3NT定约，西首攻4。东放J，南用K赢得。
在西首攻之后，庄家有2墩、2墩、2墩和1墩。因此他还需要另外做出2墩牌。他可以丢失一次出牌权，即使是5-3分配也没有关系。
把三个花色分别单独考虑，看看各个花色能另外做出2墩牌的机会是多少？
1. 你在花色中有一联合飞。如果你注意不让的连拿受到封锁，则只要西不是同时持有KQ，你就能在中另外做出2个赢墩。从数学理论上讲，成功机会为76%，并且由于已经表明西持有一个以A领头的长套，所以这个成功机会还略有增加。
2. 在花色中，只要西持有Q，明手用10简单地飞就能成功，因为这个单飞可以重复进行。先打出K，然后由明手出J，飞东有Q的打法，即使飞牌成功也只能另外做出一个赢墩。
3. 如果你先打出A，然后第二轮时明手用J飞，则当是任何形式的3-3分配，以及西持QX或QXXX时，你都能够得到4墩。如果单独计算，这个成功机会为60%。
显然花色能为做出另外2个赢墩提供最打的成功机会，不过这里你能够在一定程度上利用连续的机会。例如，你开始先打出A，接着打一给明手的K。如果打下来双张Q，你就能够肃清花色，肯定得到4墩。如果Q是单张，你可以从中做出第9墩牌。而假如Q没有出现呢？这时你再由明手出小，暗手用J飞。如果这墩牌丢失给西，而西又回出一小，以便借此与同伴保持联通时，你就可以用K进入明手，由明手出9飞（暗手跟8）。
这是一个极佳的做牌路线，能提供约80%的成功机会。（硬打出双张或单张Q的机会为19%，如果此举失败，则你在其余的81%中还有3/4的成功机会，亦即总的成功机会是19%+61%。）然而无论如何还有另一做牌路线可以考虑。假设在连打A和K时，Q没有出现，你可以打出第三轮，这时作3-3分配的机会已超过50%；如果这一预期没有实现，你仍然能够回过头来飞。但是这时你需要西持有单张Q、双张QX或三张QXX才能成功（注：由于进张关系），所以总的成功机会不超过68%。
也许你会问，为什么在连打A和K后，Q仍未出现时，作3-3分配的机会已超过50%。原因在于，这时不仅5-1和6-0的分配已经消除，并且4-2分配中的Q双张的情况也已消除。在这类形势下，这张Q是一张具有实际意义的牌，这就是说持有这张Q的防守人不到必要的时刻是不会打出Q来的。这个情况会影响概率比发生变化。
当然你没有必要在牌桌上把这些数字逐一算出，如果你真的用大量时间去进行这样的运算，你必然会疲惫不堪。但是对这类形式的问题作些练习试验，将会使你的选择能力迅速提高，从而使你在临场时即使不能选择出一个数学上是绝对最佳的做牌路线，但无论如何能够选择出一个极其合格的做牌路线。
下面一副牌例是一个小的测验，看看你在机会的计算方面取得了多少进步。
T 8 7 J 3 A 7 4 3 2 9 6 2
9 5 A K 9 8 K J 9 6 J T 8
2 Q T 6 5 4 Q T 8 K Q 7 3
A K Q J 6 4 3 7 2 5 A 5 4
很多比赛选手在拿到类似南的这手牌时，均使用转移叫。例如在使用“南非得克萨斯约定叫”时，南这手牌将开叫4，表示一手有长套的强牌。由北来做定约，有时是比较好的（但本例情况并不如此）。但是让我们假设南开叫1，最后由他做4定约。防守方先连赢两墩顶张，接着换攻出J。从上面的牌型分配可以容易地看出获胜的做牌线路，但假若你没有看见东西两手牌，你能算出你做成定约的机会有多大吗？
显然你能够得到第10墩牌的唯一希望，是明手的第5张，明手除A外，还另外需要有3个进张。根据前面所阐述的原则，你应当飞西有9，而不应当试图从东手中打出单张9。因此你的做牌计划应该是，用A得进之后，出给明手的A，暗手将吃一，出让明手用7飞，暗手大将吃一，并照此继续下去，在本例的牌张情况下，这一计划获得成功。
按照上述打法，你要获得成功，必须是4-3分配，机会为62%；同时还必须西持有9，机会为50%。因此总的机会是100次中有31次能够成功。在本例的具体情况下，你别无其他打法，但在别的牌例中，你可能需要对两种可能的打法进行比较和加以抉择。
值得注意一点，西的防守并不是最佳的防守。由于他持有强的，所以完全没有必要急于进攻。正确的防守是在第三墩牌时西换出一将牌。这样就可以在南将吃一次之前，先打掉明手的一个进张，从而使得庄家无法兑现已做好的第5张。
在下面这副比赛中出现的牌例中，庄家从两个可能的打法中选择了一个较好的打法，然而他却没有看到他本来是有连续机会可以利用的。
A K 7 5 3 K T 3 6 5 A Q 8
Q J 9 2 7 5 2 K J 4 J T 7
T 8 4 9 8 7 3 2 9 6 4 3 2
8 6 4 A Q J 9 6 A Q T K 5
南做6NT定约，西首攻J。
南只需要另外做出1墩牌，即可完成定约。这里有两个明显的可能打法。其一是打的3-2分配，另一是飞两次。我们知道，3-2分配的机会为68%，双张成功的机会是75%（注：只需要有一飞成功）。在一个桌子上南没有看出进一步还有什么机会，所以就飞了两次，结果定约失败。“也不是3-2分配，”南沮丧地说：“看来我们应…… （原文漏排了。此处及下段起始的……，为制作者添加。）
……了6NT定约。首先庄家没有必要把定约的命运孤注一掷地依靠花色。他可以先打A和K。如果是3-2分配，他的一切问题均获得解决，而如果发现的分配不利，仍可回过头来飞，同时还有其他机会可以利用。
在本例的牌张情况下，东在第二轮时即行示缺。假如这时庄家就飞，则他的成功机会仍然比单独依靠飞两次的成功机会为大。但是这时他有一个成功机会更大的打法。这就是在发现西持有4张之后，他就可以用先打后打的次序，把和全部打光，达到如下的残局形势：
7 - 6 5 -
Q - K J -
- - 9 8 9
8 - A Q -
这时应由明手出牌，如果庄家的读牌正确时，他就可以出投给西得进，迫使西回出而陷进他的间张。
诚然西若是一个头脑敏锐的牌手，他就能够让庄家的打牌感到更为困难，办法就是到最后残局时他手中不是保留单张和2张，而是保留2张和单张K。我们所能够说的只有一点，就是在对付大多数的敌手时，要判断出当前是什么样的具体情况，并不是太困难的。
持有类如AQ10这样的组合时，是不难看出有双飞机会的。但是在某些时候，机会就不是职业昂这样明显易于看到。
J 6 5 3 9 4 T 5 2 A 7 5 2
Q T 8 A K J 8 A Q K Q 8 6
南持21点的均型牌，开叫2NT。北可以应叫3，这是史台曼，试图找到4-4的配合；但是当做高花定约并不一定比做3NT定约更好时，直接加叫成3NT，或许是更为可取的。
西首攻4，东打J，南用Q得进。假定能提供4个赢墩，则南已有8墩牌。如果有足够的时间，南肯定能够从中至少做出1墩牌，但是现在还有时间吗？假若是4-4分配，南当然可以在花色中丢失一两次出牌权。然而的4-4分配是极少有可能的。在理论上4-4分配的机会为33%；但是这里另有一个事实，就是西从K领头的中首攻一小，而在防守3NT定约时，从有K的4张中首攻，很少可能是最好的选择。因此作5-3分配的可能性要大得多。
南可以先打2或3轮，然后打一。防守方毫无疑问会回出第二轮，根据这轮上防守方两人打出的牌张情况，可能得到一些线索来判断究竟是5-3分配，还是4-4分配。假如看来仍是5-3分配，南还可以飞，以图得到第9墩。
但是这里有一个更好的打法。南应先打出K和Q。假如是3-2分配，南就可以用进入明手两次。先由暗手出8给明手A得进，由明手出9飞。如果这一飞丢失给西的10，以后南还可以用7进入明手，由明手出，飞东有Q。只要东持有Q或10（以及Q10），南都能够得到3墩，成功机会（成功的概率比）为3:1。
对于上述这种组合中所含有的机会，牌手有时可能忽略。
还有两种组合形式所含有的机会，也是不太容易看清楚的：
(1)
A 10 4
(2)
A K 10 9
Q 6
6 4
对于组合(1)，最佳打法是先由明手出小牌给暗手的Q。如果丢失给西的K，则第二轮时由暗手出牌，明手用10飞。这一打法除西持K和东持J这一情况之外，均可得到2墩牌。其成功机会与持AQ10对XX时的成功机会相等。对于组合(2)，同样可飞两次，除东同时持有QJ的情况外，均可获得3墩牌。
当你做花色定约时，如果你可以进行将吃飞，也会常常出现类似的机会。例如：
A J 9 8
10
这是你联手中的一个副牌花色，而你有足够的将牌。你出10给明手的A，由明手出8，只要东不盖打，你就让8飞过去。西大概会用K或Q赢进。之后你再重复一次这一飞牌，便能够在不再丢失牌墩的情况下多得到1墩牌，只当西同时持有KQ时才失败。
当明手缺少进张时，就有可能出现一个问题，这就是在两个飞牌当中，庄家究竟应该进行哪一个飞牌。看看在下面这副牌例中，第二墩牌时庄家所面临的问题。
8 7 3 Q 5 8 6 4 2 A T 6 2
J 9 5 2 7 Q T 3 K Q 9 5 3
K T 6 K 8 4 2 J 9 5 J 8 7
A Q 4 A J T 9 6 3 A K 7 4
南做3NT定约，西首攻K。南第二墩牌时应怎样打法？
在看到全部牌张的情况下，可以很容易地看出，第二墩牌时由明手出一小，暗手用Q飞，便可得到最佳结果。当然庄家可以先由明手出Q飞，然后立即改飞，但是在Q这一飞获得成功时，继续再出飞便是很自然的事情，因为东可能持KXX三张。
庄家之所以应当飞而不应飞的逻辑理由在于，飞（即使成功）也并不一定就能做成定约，因为东可能会持有KXXX四张。此外，还另有一个小小的附加理由，这就是如果的一飞失败，仍有打出单张K的机会；这个机会虽然很小，但却比飞失败之后打出单张K的机会远远为大。
在下面的牌例中有同样类型的问题出现，但是其解决办法却不相同：
A 7 4 2 8 3 7 5 2 J 6 4 3
西首攻 K
5 3 A K J 7 6 2 K J T A K
南做4定约，西首攻K，南用明手A赢得。现在南需要在飞与飞二者之间进行选择。如果明手还有一个进张，先飞（飞东有Q）当然是正确的，但是这里只当东持QX双张时，飞才是有利的（注：即才能够得到2墩）。因此这里南应当最为妥善地处理好，亦即第二墩牌由明手出，暗手用J。如果南能够得到6墩，他就可以由暗手出，最后得到6墩、2墩、1墩和1墩，完成定约。
在前面的一些示例中，我们已不止一次地看到，连续机会远比选择性机会优越。看看在下面这副大满贯牌例中，你能否抉择出最佳的做牌路线。
Q J 8 K J 6 5 2 K 7 4 A J
西首攻 9
A T A 9 A J 9 3 K Q T 7 3
南北相当自由地叫成7NT定约。西作了一个安全性首攻9。
庄家只有10个顶张赢墩，表面看来似乎他应该着眼于从花色中得到5墩牌。但是先试试不会有什么害处（如果失败同样最多只宕1墩），所以他连打A和K。本例的具体情况是，第二轮时Q从西手中掉出。这不会是一张假牌，所以第三轮时南暗手用9飞又获成功，结果得到4墩。
现在南已有12个顶张赢墩。先试希望能硬打出Q，如果失败，最后还可以飞，必然是正确的打法。在兑现完赢张和之后，明手最后剩下的三张牌是8和KJ（注：暗手剩下A10和9）。结果Q在第二轮时被K硬打下来，定约完成。全副牌的牌张分配情况如下：
K 9 5 3 T 8 7 3 Q 8 9 8 6
7 6 4 2 Q 4 T 6 5 2 5 4 2
现在再来看看另外一个问题，如果你联手的组合正好是上例中KJ652对A9，但现在你只需要准确得到4墩，应当怎样打法？有两种不同的打法。其一是先打出A，第二轮时用J飞；其二是第一轮时由明手出小，只要东不用大牌盖打，暗手就用9飞。我们称前一打法为打法(1)，后一打法为打法(2)。
打法(1)在西持Q10XX四张时成功，打法(2)在东持Q10XX四张时成功，所以这两个打法的机会相等。
在西持10X双张时，两种打法均失败。在东持10X双张时，两种打法均成功。两种打法的机会仍然相等。
在西持QX双张时，两种打法都成功。在东持QX双张时，打法(1)失败，打法(2)成功。因此打法(2)，既先由明手向暗手A9出小，暗手用9飞的打法，有较大的成功机会。
在下面这副牌例中，要找到最佳打法并不需要专门的概率比知识，但这副牌例中的连续机会却有可能被庄家忽略。
4 3 7 4 J 7 4 K J 7 6 4 2
Q T 9 8 6 5 K J T 9 2 9 8 -
A J 2 8 6 5 3 6 5 3 2 8 3
K 7 A Q A K Q T A Q T 9 5
南作约定性的2强开叫，叫牌过程如下：
2—26
24—
—4—
31——
1东是防守性叫牌，目的在于使对方更难于找到一个配合。2 在这样的情况下，南不叫通常是最好的办法；假如北家持一手均型弱牌，他将会对3加倍，南则会不叫。
西经过考虑之后，首攻一，而没有首攻。这一首攻不错，因为庄家在叫完将牌之后，连打，在第四轮时明手垫掉一张，再用将牌进入明手，由明手出，暗手用Q飞。结果防守方赢得K和A两墩牌。
显然庄家应先由明手出一，而不要先飞，这是明智得多的打法。如果K丢失给西的A，庄家最后还可以飞（记住，他明手已在第四轮上垫掉一张）。在本例的牌张情况下，东将用A赢进第一轮，但是庄家暗手的K便可用来垫掉明手一张，从而完成定约。
在下面一副牌例中，庄家也犯了类似的盲目性错误。
A Q 4 A T 6 3 7 5 2 5 4 3
T 8 7 5 3 K 4 A 6 J T 8 6
K 6 2 9 J T 9 8 3 K Q 9 2
J 9 Q J 8 7 5 2 K Q 4 A 7
在两家不叫之后，东在自己一方无局的情况下作了第三家开叫1。南争叫1，西叫1，最后由南做4定约。
对南的4定约，西首攻J。南用A得进，接着就飞将牌，捉死了西的K。然后由明手出一，暗手放K，但在他的K被西用A打死，西又回出一，南心中不禁大为震惊，之后南飞失败，结果定约宕1墩。
在捉死将牌K之后，南只需打，而不动，便肯定能够做成定约。南可以丢失1墩给K，但在第三轮时便可以垫掉暗手一张，所以他最多丢失1墩、1墩和1墩，完成定约。
你现在已经知道，如果你联手一个花色缺少5张牌，则这5张牌是3-2分配的概率约为68%。如果Q也在所缺的这5张牌之中，则Q有两个护张与Q只有一个护张相较，概率比为3比2。因此在100次中QXX出现41次，而QX只出现27次。但是随着打牌的向前进展，QX双张出现的机会可以增大。例如你明手有KXX，暗手持AJXXX，你先由明手打K，再由明手出一小牌，这时你右手对方（东）也跟出一小牌。到这个时刻，已有几种原始的可能分配业经消除，例如你右手对方（东）持单张Q或双张QX的可能性已不存在。因此在这个时刻，在100飞中有17次是东持QXXX四张；有31次是东持QXX三张；有21次是东持XXX三张而西持QX双张；有31次是西持QXX三张。
在有了这种知识之后，你对下面这副牌例将怎样安排做庄计划？
A 6 3 2 6 4 A Q T 4 K 8 5
西首攻 7
K 7 4 A 5 9 8 3 A J 7 6 2
你做3NT定约，西首攻7，一下就击中你的弱点。
显然你需要或者得到5墩，或者得到4墩。现在你已不可再丢失出牌权，因为你必须看到防守方有能够连得至少4墩的危险。你先打一小给明手的K，并由明手回出一。这时东仍跟出一小。现在你的问题十分清楚，就是你必须决定是否不飞，而依靠的双飞来得到4墩牌，这就要根据双飞的成功机会能否超过飞的机会而定。
如果你飞，则在100次中你有31次能得到5墩牌。此外还需要加上为4-1分配（东持4张）且的飞牌成功的机会4%。假如你不飞而用硬打办法，则当西持双张QX时成功（21%），此外还要加上没有硬打出Q，但双飞成功的机会。在100次中有79次不能硬打出Q，而在这79次中有19次的双飞能够成功。这样19+21，即在100次中有40次能够硬打成功，而飞的打法只有35次成功。所以不飞的打法略优，虽然差别不是很大。
假设组合不是KXX对AJXXX，而是KXX对AJ10XX。这时飞的打法就要优于硬打的办法，因为现在即使东持QXXX四张，也能将其全部飞死。
在对两个做牌路线的成功机会进行比较时，切莫忽略从叫牌中和从前面的打牌中所能得出的任何信息。在下面一副牌例中，头两墩牌的打牌为判定K的位置提供了重要的线索。
J 7 5 3 8 4 K 9 7 4 2 A 5
8 K Q J 9 6 3 Q 8 3 T 9 6
Q 2 A T 5 J T K J 8 7 3 2
A K T 9 6 4 7 2 A 6 5 Q 4
南做4定约。西首攻连打K和Q，然后换攻出10。在第三墩牌时，西换攻是必然的，南有可能让西的10飞给暗手的Q。但是西极少可能是从有K的中换攻出10，因为假如他持有K这张牌，则他可能会让东得进第二轮，有东回出；同样东也肯定会用A把第二轮超得过来，并回出。
如果庄家让西的10从明手飞过去，他就无法避免还要丢失1墩。因此他必须考虑其他的可能机会。假如他懂得消去打法（本书的另一姊妹篇中对此有详细的阐述），他就可以看到他的最佳机会是立即用A得进，叫出防守方的将牌，兑现A和K，达到如下的形势：
J 7 - 9 7 4 5
- J 9 6 Q 9 6
- A - K J 8 3 2
T 9 6 4 - 6 Q
现在南打出Q脱手，东得进这墩之后，由于已没有可以回出，被迫送给庄家一个将吃加垫牌。
这里在防守上有一点值得提出。西在第二墩牌时不要继续兑现第二轮，而先回出一，则是极好的防守打法。这样就会使得庄家的消去打法不能发挥作用，因为东在被南用Q投进（东用K赢得）时，可以回出一小，让西赢进，于是西便能够再兑现Q。
庄家常常需要从AX对KJXX这种组合中得到3墩牌。如果做花色定约，庄家可以直接打一单飞，或者先打A和K然后将吃第三轮，希望三轮把Q打下来。
我们在前面已经说明，Q在持有较多这个花色牌张（4张或更长）的那个防守人手中的可能性，比在持有较少这个花色的另一防守人手中的可能性为大。因此飞是机会较大的打法。为了练习，我们来算一下这两个打法的成功机会。
飞的成功机会为50%，此外还可加上KJ之后的单张Q这一机会0.5%。将吃第三轮的打法，在任一防守人持QX或QXX时均能成功。QXX出现的机会为62%的七分之三，亦即27%；QX出现的机会为31%的七分之二，亦即9%。因此将吃第三轮的打法的总的成功机会约为37%左右。
但是在实际的牌例中，将吃第三轮的打法有时可以是非常正确的，因为如果Q在第三轮没有被打下来，还可以有其他别的机会。例如下面一副牌例就很有意思：
K 6 K 8 5 2 K J 6 3 A K 4
A 7 2 A Q J 7 4 A 5 J 6 2
南做7定约，西首攻J。在叫完防守方的将牌之后，庄家由明手将吃第三轮。现在他还需要做出第13墩牌。
一个可能的打法是先兑现A和K，看看能不能打出双张Q，这个机会当然很小。如果此举失败，庄家再飞Q。
但是另有一个较为优越的做牌路线。庄家可以先兑现A和K，将吃第三轮。如果未能把Q打下来，则当西持有Q和Q时，庄家仍然能够获得成功。因为庄家可以打成如下的残局形势：
- - J A 4
- - Q Q 8
无关紧要的牌
- 7 - J 6
当南由暗手打出最后一张将牌时，西就在明手之前被挤住。
假如南能够预见到挤牌的可能性（只要他学过挤牌打法，这就不是困难的），他便可以按下述方式计算出成功机会。
我们已经看到，用将吃第三轮的办法来多得到1个赢墩的机会为37%。在其余的63%的机会中，有一半的机会西持有4张以上的，同时也有一半的机会西持有Q。因此大约有15%的机会南能够依靠挤牌打法做成定约。这样这一做牌路线的总的成功机会就是37%+15%，比简单的飞的打法的成功机会略大。
任一防守人持双张Q的机会，虽然也不可忽略的，但在计算时并未计入，因为在QX双张时两种打法均能成功。将吃第三轮，并以挤牌为最后机会的打法，成功机会约增大2%，这对于满贯定约来说是不可轻视的。
在3NT定约时，庄家如果有两个花色可以树立，并且成功机会又大约相等时，一般应树立较长的一个花色。但是这个原则有很多例外情况。假如任一个花色都能提供所需数目的赢墩，则在树立一个花色之前，将另一花色的顶张赢墩先行兑现，有可能是好的打法。有时候一些暗藏着的机会，容易逃脱庄家的注意。
6 4 K J 7 3 A Q 9 5 7 6 4
A J 8 7 5 T 6 5 4 6 3 T 8
Q 9 2 Q 8 K 7 4 2 Q 9 5 3
K T 3 A 9 2 J T 8 A K J 2
南做3NT定约，西首攻7。东打Q，南用K赢得。
如果的一飞能够成功，就可得到所需数目的全部赢墩，看来这似乎是自然的打法。但是在飞之前，还可探查一下其他的可能机会。例如庄家可以先试一试，但不是冒险去飞。他先出2给明手的K，并由明手出小给暗手的A。在东先后跟出8和Q时，由暗手出9飞就是相当安全的，从而得到4墩。（假如东是从Q108中先后跟出的8和Q，那就祝贺他一切顺利！）
由于西首攻（注：说明持有长套），现在又表明他持有四张，所以他的和必然较短。因此这时的最佳打法是先兑现A（西有可能持单张Q），接着出给明手的A，再由明手出，暗手用J飞。
注意，如果孤立地只考虑和两个花色时，多做出1墩牌的最佳机会，是先兑现A和K（注：希望Q是双张），然后飞。但是在已经发现西的两个高级花色都是长套之后，飞的打法就具有较大的成功机会。
还有很少数的花色组合，如果对方的牌张分配非常幸运（注：对庄家说），庄家也能得到数目为未敢预料之多的赢墩：
1.
A 10 7 3
9 6 5 4
Q J
K 8 2
2.
A Q 4
K J
9 7 5 2
10 8 6 3
上述两种组合看起来都不大可能得到4墩牌，但是在对方的牌张分配特别有利时，仍可成功地得到4墩牌。
3.
A 8 5 2
K Q 7 4
10 6
J 9 3
这种组合如需得到3墩牌，应由明手出小，暗手用9飞。第二轮时由暗手出J，希望钉死东的双张10。假如你能够正确读出牌张的分配情况，则在东持双张K10或Q10时，你也能够得到3墩牌。
根据你已经知道的关于概率比的知识，你看看在下面这副牌例中，第二墩牌时庄家应当怎样打牌？显然你将或者飞，或者飞，但是究竟应当飞哪一个花色？这里会出现在你初看之下所没有意料到的一些问题，或许会令你感到惊异。
Q 9 4 T 8 7 7 3 2 A 7 4 2
A J 8 7 3 2 K Q J A Q 5 3
你做4定约，西首攻K。这里没有任何理由需要缓拿，所以你明手用A赢进。你肯定要丢失1墩和1墩。因此你当然愿意既飞又飞，然而你明手却缺乏进张。
假设你在第二墩牌时决定飞，则对成功机会进行计算是很容易的。如果飞成功（50%的机会），则除是4-0分配的情况外，你均能完成定约。由于这时若是4-0分配，则无论怎样你的定约都要失败（除非你打双明手牌——看着四手牌打），所以对于这个可能性可不考虑。如果的一飞失败，这时你唯一的希望是硬打出单张K。其成功机会是12.5%，即3-1分配的¼。但是你必须避免一个错误，这就是因此而认为你的总的成功机会是62%。因为硬打出K单张这个12.5%的机会，仅仅是在的一飞失败之后才会对你有所帮助。从而你决定飞这一打法，能够完成定约的机会为56%。
假设你决定飞，而不飞。这时由明手出4比出Q为好，因为Q以后有可能成为明手的进张。你能够1墩不失的机会有：
1. 东持双张KX，其机会为2-2分配的一半，即20%；2. 东持单张K，其机会为3-1分配的八分之一，即6%。
以上两项相加你共有26%的成功机会。但是你还有下面一种成功机会：
3. 的一飞失败（50%的机会），但你以后能够进入明手再飞（成功机会50%）。这两种情况同时出现的机会为25%。
因此总的说来，第二墩牌时你若飞（暗手用J飞），总的成功机会只有51%，而飞的总的成功机会则达56%。此外，还有另一点需要考虑。西若是一位桥牌高手，并且持有K10X或KXX，他因为看到庄家明手缺少进张，在暗手用J飞时，他就将让掉。如果庄家接打A，他就再也无法进入明手去飞。
除以上各种情况外，西还有机会能够打出漂亮的以假乱真的防守。如果西持有K和双张10X，则在庄家暗手用J飞时，西就可以扔出10。假若庄家认为西的10是单张，第三墩牌时他就可能由暗手出一小，结果丢失1墩给东的双张K。
以上各种可能性使得在第二墩牌时飞的打法更加优越。
当然在牌桌上的临场情况下，你没有时间去对上述所有各种机会一一加以计算。一个有经验的牌手将会用如下的自语而把上述全部计算过程加以简化：“我如果立刻飞，只要这一飞能够成功，我就一定能够做成定约。而如果飞失败，我还有希望硬打出单张K。我如果在第二墩牌时飞，即使成功，我也并不一定就必然做成定约。”
下面是一次欧洲锦标赛中，奥地利对瑞士一场比赛中的一副牌例。在这副牌例中，庄家面临的问题，与上一示例中的问题相似。
J 9 7 6 2 A 8 4 T 6 T 5 3
K 5 4 Q J 9 6 2 4 Q 9 7 2
Q T 8 3 K T 5 3 K 7 3 8 6
A 7 A Q J 9 8 5 2 A K J 4
瑞士队的南北通过如下的叫牌过程，叫成6：
2344NT6
2NT345—
西首攻Q，明手A赢进。现在南必须决定是否飞，还是飞。如果看到四手牌，就显而易见只要飞就可解决全部问题。但是让我们也象庄家在牌桌上所必须进行的那样，对各种机会加以考虑。
打法一：第二墩牌时由明手出10飞。这一打法在东持有K时成功（但当他持4张时失败），或在的一飞失败之后，Q能在一轮或二轮上被打下来也能成功。飞捉出K的成功机会为45%，硬打出Q的机会为19%。但是这个19%的机会是飞失败之后的55%的机会中的一个机会，所以只能提供约10%的成功机会（注：19%×55%）。因此总的成功机会约为55%。
打法二：在第二墩牌时由明手出小，暗手用J飞。这一打法在东持单张Q、QX或QXX时方能成功，总的机会为1+8+18，即27%。但是几乎有近一半的机会将出现一种情况，即J的一飞会丢失给西的Q，但庄家能够用10再进入明手，最后再飞。其成功机会约19%。
此外，还可能有另一种情况，即暗手用J飞时赢得但东却持有QXXX四张。这时庄家的最佳打法是继续打。如果西将吃第三轮，则庄家仍有可能将吃第四轮进入明手，再飞。这有约4%的成功机会。
因此打法二的总的成功机会为27+19+4，共约50%，比打法一的成功机会略低。在比赛时庄家采用了打法二。J丢失给西的Q，但是以后庄家用10进入明手，再飞，终于做成定约。当时已经有人看到，西在第一墩时不用Q赢进，乃是极好的防守。这样庄家的定约突然之间变成根本无法做成。
在前面两个示例中，需要进行一些严密的推理。本例则是一副相当简单的牌，但是庄家在这副牌上，看来还是犯了一个盲目的错误。
J 5 3 A K J 2 A 6 2 7 4 3
8 6 Q T 8 7 J T 9 8 A T 6
Q T 9 9 6 5 4 7 5 4 Q J 9
A K 7 4 2 3 K Q 3 K 8 5 2
南北联手牌的最佳定约应是3NT，但南最后做4定约。西首攻J，南暗手K赢进后连打A和K，但Q没有被打下来。
现在这里在和中均有飞牌，但看来庄家似乎愿意依靠A的位置来决定定约的成败。于是他用A进入明手，由明手出一小，东打Q。南暗手盖K，但被西用A赢得，西回出，结果南失1墩和3墩，定约迅速失败。
即使南准备飞而不飞，他也应当先打A和K，因为有打出双张Q的可能性。不过这并不是问题的关键。
“你为什么不试的一飞？”北询问说。
“因为如果飞失败，我就要多宕1墩牌，而我们又是有局方，”南颓丧地说。
“但是你若飞，你就有两个机会，”北指出说。“如果J赢得，你便能够立即用垫掉2张。如果的一飞失败，则当东拿着A时，你仍能做成定约。因为在用K赢得第一或第二轮时，你就可以进入明手，用垫掉2张。”
当然这是正确的。南应当利用这个75%的机会，而不应采用只有50%的机会，因此冒险一试有可能宕2墩的打法，比依靠只可能宕1墩的打法是更为值得的。
庄家常常未能看到一个将吃双飞只要两张牌中的一张牌处于有利位置，就有超过75%的成功机会。在下面这副牌例中，大多数的庄家都会去树立一个不该树立的花色。
K J T 9 8 7 A Q T 7 K 6 5
Q 3 2 6 5 K J 9 8 4 J 9 7
A 6 5 4 4 3 T 6 Q T 8 4 3
- K J 9 8 7 2 A Q 5 3 2 A 2
南北没有经过多长时间就叫成了6：
126
14—
西意识到南有可能利用明手将吃，于是他首攻一将牌。南粗略地看了一下明手的，就由明手出一给暗手的A，并由明手将吃一，用A回入暗手，由明手最后一张将牌再将吃一。但不幸得很，东这时示缺，结果南还要丢失2墩。
象这种单张对AQXXX的组合，正确的打法常常是在第一轮时用Q飞，但在本例的情况下这一打法则是错的，因为如果西只持有KXX或KXXX时，他就可能在用K赢进之后又回出第二轮将牌。先用A赢得，南只要求对方的是4-3分配，便能成功（因为以后他可以送掉1墩），所以南认为自己运气不佳。
假如你检查一下概率，你就可以看出树立可以得到更大的机会。第二墩时由明手出7，只要东不盖打，就让它飞过去，以后如有需要可再行将吃飞一次，除西持有A和Q的情况外，南均可成功。这一打法的成功机会为76%。树立的打法，在任一防守人持KXXXX（或更长）时均将失败。5-2分配的机会为31%，其中KX双张的机会为9%。把KX双张的机会9%与4-3分配机会62%相加，总的机会为71%。所以树立的打法比树立的打法成功机会略小。
庄家可以在一定程度上将两种机会加以联合利用。南应当由明手赢进西的
J 9 7
8 4
7 2
A K 9 7 4 3